Примери како израчунати подручје цилиндра

Постоји велики број задатака везаних за цилиндар. Потребно је да нађу радијус и висину тела или врсту његовог попречног пресека. Осим тога, понекад је потребно израчунати површину цилиндра и његов волумен.

Које тело је цилиндар?

У току школског програма се проучава кружни, тј. Као такав у бази, цилиндар. Али постоји и елиптичан поглед на ову цифру. Из наслова је јасно да ће његова база бити елипса или овална.

Постоје две базе цилиндара. Оне су једнаке једна другој и повезане су сегментима који комбинују одговарајуће тачке база. Они се називају цилиндарски генератори. Сви генератори су паралелни и једнаки. Они чине латералну површину тела.

Уопштено, цилиндар је нагнуто тело. Ако генератори формирају прави угао са базама, онда они већ говоре о равној фигури.

Занимљиво, кружни цилиндар је ротирајуће тијело. Добија се окретањем правоугаоника око једне његове стране.

Главни елементи цилиндра

Главни елементи цилиндра су следећи.

1. Висина То је најкраћа удаљеност између база цилиндра. Ако је равна, онда се висина поклапа са генератором.
2. Радиус Подудара се са оним који се може одржати у бази.
3. Акис. Ово је правац који садржи центре обе базе. Ос је увек паралелна са свим генераторима. У равном цилиндру, он је окомит на базе.
4. Акиал сецтион. Формира се на пресеку цилиндра у равни која садржи ос.
5. Тангент плане. Пролази кроз један од генератора и окомит је на аксијални пресјек који се извлачи кроз овај генератор.

Како је цилиндар повезан са призмом уписаном у њу или описан у близини?

Понекад постоје задаци у којима је потребно израчунати површину цилиндра, док су неки елементи повезане призме познати. Како се ове бројке односе?

Ако је призма уписана у цилиндар, онда су њене базе једнаке полигоне. И они су уписани у одговарајућу базу цилиндра. Бочне ивице призме поклапају се са генераторима.

Код описане призме у базама постоје правилни полигони. Описани су око цилиндричних кругова, који су његове базе. Равнице које садрже лица призме додирују цилиндар дуж генератора.

На површини бочне површине и базе за раван кружни цилиндар

Ако скенирате бочну површину, добићете правоугаоник. Његове стране ће се подударати са генератором и опсег основама. Стога ће бочна површина цилиндра бити једнака производу ове двије количине. Ако напишете формулу, добијате следеће:

С _страна = л * н,

где је н генератор, л је дужина круга.

И последњи параметар се израчунава по формули:

л = 2 π * р,

овде р је полупречник круга, π број "пи", једнак 3.14.

Пошто је база круг, њена површина се израчунава помоћу следећег израза:

С _{примарни} = π * р ² .

На подручју цијеле површине равног кружног цилиндра

Будући да се састоји од двије базе и бочне површине, те три количине треба додати. То значи да ће се укупна површина цилиндра израчунати по формули:

С _спрат = 2 π * р * н + 2 π * р ² .

Често се пише у другом облику:

С _флоор = 2 π * р (н + р).

На површинама нагнутог кружног цилиндра

Што се тиче основа, онда су све формуле исте, јер су оне још увек кругови. Али бочна површина не даје правоугаоник.

Да би се израчунала бочна површина нагнутог цилиндра, неопходно је помножити вредности генератора и периметра деонице, који ће бити окомити на изабрани генератор.

Формула изгледа овако:

С _страна = к * П,

где је к - дужина цилиндра генератора, П - обим деонице.

Одјељак је, боље речено, боље одабрати тако да формира елипсу. Тада ће се поједноставити израчунавање његовог периметра. Дужина елипсе се израчунава помоћу формуле, која даје приближан одговор. Али то је често довољно за школске задатке:

л = π * (а + ц),

где су "а" и "б" полуоске елипсе, тј. удаљеност од центра до најближе и најудаљеније тачке.

Површина цијеле површине мора се израчунати помоћу сљедећег израза:

С _спрат = 2 π * р ² + к * Р.

Који су неки дијелови равног кружног цилиндра?

Када део пролази кроз осу, његова површина се дефинише као производ генератора и пречник базе. То је због чињенице да има облик правоугаоника, чије се стране поклапају са назначеним елементима.

Да бисмо пронашли површину попречног пресека цилиндра који је паралелан са аксијалним, потребна нам је и формула за правоугаоник. У овој ситуацији, једна страна ће се и даље подударати са висином, а друга је једнака тетиви базе. Ово последње се поклапа са линијом одсека дуж базе.

Када је секција окомита на осу, она има облик круга. Штавише, његова површина је иста као и на основи слике.

Можда је пресек под неким углом у односу на ос. Затим, у попречном пресеку, добија се овал или његов део.

Примери задатака

Задатак број 1. Дати је раван цилиндар чија је основна површина 12,56 цм ² . Потребно је израчунати укупну површину цилиндра ако је његова висина 3 цм.

Одлука. Потребно је користити формулу за пуну површину кружног равног цилиндра. Али недостају јој подаци, наиме, радијус базе. Али подручје круга је познато. Из њега је лако израчунати радијус.

Она је једнака квадратном корену квоцијента, који се добија дељењем површине базе са пи. Након дијељења 12.56 са 3.14 излази 4. Квадратни коријен од 4 је 2. Дакле, радијус ће имати само ту вриједност.

Сада можете израчунати површину бочне површине. Да бисте то урадили, помножите пи по радијусу, висини и 2. Рад ће изгледати овако: 3.14 * 3 * 2 * 2. Резултат акције је: 37.68 цм ² .

Да би се израчунала укупна површина потребно је додати двије базе (12,56 цм ² ) и бочну површину (37,68 цм ² ). Резултат је број од 50.24 цм ² .

Одговор: С _пол = 50,24 цм ² .

Задатак број 2. Цилиндар са радијусом од 5 цм потиснут је равнином паралелном са осом. Удаљеност од секције до оси је 3 цм, а висина цилиндра је 4 цм.

Одлука. Облик профила је правоугаони. Једна страна се поклапа са висином цилиндра, а друга је једнака тетиви. Ако је прва вредност позната, онда се мора наћи друга.

Да бисте то урадили, направите додатну конструкцију. У бази правимо два сегмента. Оба ће почети у центру круга. Први ће се завршити у центру акорда и бити једнак познатом растојању од осе. Други је на крају акорда.

Гет правоугаони троугао. Позната је хипотенуза и једна од ногу. Хипотенуза се поклапа са радијусом. Друга нога је пола акорда. Непозната нога, помножена са 2, даје жељену дужину акорда. Ми израчунавамо његову вредност.

Да бисте пронашли непознату ногу, потребно је квадрирати хипотенузу и познату ногу, одузети другу од прве и узети квадратни коријен. Квадрати су 25 и 9. Њихова разлика је 16. Након екстракције скуаре роот 4. Ово је жељена нога.

Акорд ће бити једнак 4 * 2 = 8 (цм). Сада можете израчунати површину попречног пресека: 8 * 4 = 32 (цм ² ).

Одговор: С _Сицх је 32 цм ² .

Задатак број 3. Потребно је израчунати аксијални пресјек цилиндра. Познато је да је у њега уписана коцка са рубом од 10 цм.

Одлука. Аксијални пресек цилиндра подудара се са правоугаоником који пролази кроз четири врха коцке и садржи дијагонале његових база. Страна коцке је генератор цилиндра, а дијагонала базе се поклапа са пречником. Производ ове двије количине даје подручје које се препознаје у проблему.

Да бисте пронашли пречник морате користити знање да је у основи коцке квадрат, а његова дијагонала формира једнакостранични десни троугао. Његова хипотенуза је жељени дијагонални облик.

Да бисте је израчунали, потребна вам је формула Питагорине теореме. Потребно је квадрирати страну коцке, помножити је са 2 и извадити квадратни корен. Десет до другог степена је сто. Помножено са 2 - две стотине. Квадратни корен од 200 је 10√2.

Секција је опет правоугаоник са странама 10 и 10√2. Његову област је лако рачунати множењем ових вредности.

Одговор је. С сеч = 100 × ² цм ² .