Карактеристике решавања проблема о одређивању брзине реке. Примери решења
Један од фасцинантних проблема у математици и физици, који наставник предлаже рјешавању школске дјеце, је проблем одређивања брзине протока ријеке. У овом чланку ћемо размотрити карактеристике решавања ових проблема и дати неке конкретне примере.
Који задаци ће бити разматрани?
Сви знају да вода у ријеци има одређени проток. Равне ријеке (Дон, Волга) протичу релативно споро, док се мале планинске ријеке одликују јаком струјом и присуством водених лијевака. Сваки плутајући објекат који је бачен у реку ће се удаљити од посматрача брзином речне струје.
Људи који су се окупали у реци знају да је веома тешко пливати против његове струје. Да бисте се померили неколико метара, морате уложити много више труда него када се крећете у устајалој води језера. Напротив, проток се одвија практично без потрошње енергије. Довољно је да задржи тело на површини.
Све ове карактеристике нам омогућавају да направимо следећи важан закључак: ако се тело које има брзину в у мирној води креће у корито реке, тада ће његова брзина у односу на обалу бити једнака:
- в + у за ток;
- в - у за кретање против струје.
Овде је у брзина протока.
Ако се тело креће под одређеним углом у односу на ток, тада ће резултујући вектор његове брзине бити једнак збиру вектора в и у¯.
Формуле то Ремембер
Осим горе наведених информација, за рјешавање проблема на брзини ријеке треба запамтити неколико формула. Ми их наводимо.
Брзина струје је константна вредност, али брзина тела (чамца, чамца, пливача) у општем случају може варирати, како по величини тако иу правцу. За равномерно правоцртно кретање, важи следећа формула:
С = в * т
Где је С преваљена удаљеност, в је брзина кретања тела. Ако се кретање дешава са убрзањем а, треба применити формулу:
С = а * т 2/2
Поред ових формула, да би се успешно решавали проблеми, требало би бити у могућности да користе тригонометријске функције при разлагању вектора брзине у компоненте.
Сада се окрећемо рјешавању специфичних проблема.
Задатак са бродом и рибара
Један рибар је одлучио да оде на свој брод без мотора на протоку реке на удаљености од 2 километра. У устајалој води, он би превалио ову удаљеност за 30 минута, али када би возио дуж реке, требало му је сат времена. Неопходно је пронаћи који је проток ријеке једнак.
Пошто је брзина воде у ријеци непозната, означавамо је словом к. Брзина брода је такође непозната, али се може израчунати користећи вредности из услова за кретање у мирној води. Добијте брзину за бродове:
в = С / т 1 = 2 / 0.5 = 4 км / х
Пронашли смо брзину којом се рибар на броду може кретати мирним језером. Да бисте пронашли брзину брода против струје, потребно је одузети вриједност к од пронађене вриједности. Онда, да се попнемо уз ријеку, можемо написати сљедећу једнаџбу:
С = (4 - к) * т 2
Изнесите одавде вредност непознатог параметра, имамо:
к = 4 - С / т 2
Остаје да се замене бројеви из стања проблема и да се забележи одговор:
к = 4 - С / т 2 = 4 - 2/1 = 2 км / х
Дакле, брзина струје у реци је упола мања од брзине брода.
Задатак са моторним бродом
Моторни брод свакодневно прелази на ријеку од точке А до точке Б. Удаљеност између А и Б износи 7 км. Познато је да је брзина пловила низводно 8 км / х. Која је брзина струје, ако брод пролази 10 минута више времена на путу низ ријеку него кад се креће горе?
У овом случају, не знамо ни брзину моторног чамца, нити брзину воде у ријеци. Означимо прво као и, а друго као к. Тада можете написати следеће четири једнаџбе:
к + и = 8;
С / т 1 = к + и;
С / т 2 = и - к;
т 2 - т 1 = 1/6
Прва једначина одражава брзину пловила низводно, друга и трећа једнаџба се односе на вријеме и брзину кретања према доље, односно према горе. Четврта једначина произилази из стања проблема временске разлике између предњих и обрнутих путања између тачака А и Б.
Прво, из ових једначина налазимо време т 1 и т 2 :
т 1 = 7/8 = 0,875 х;
т 2 = 1/6 + 7/8 = 1,0417 х
Да би одредили брзину к воде у реци, одузмите трећу једначину од друге, добијамо:
С / т 1 - С / т 2 = 2 * к =>
к = С / 2 * (1 / т 1 - 1 / т 2 )
Замјењујући израчунате вриједности т 1 и т 2 у ову једнакост, као и удаљеност између тачака С, видимо да вода у ријеци тече брзином од 0,64 км / х.
Задатак: кретање брода под углом у односу на струју
Сада решавамо проблем, који захтева способност коришћења тригонометријских формула.
Брод је почео да се креће од једне обале реке до друге под углом од 60 о према струји. Брзина брода у мирној води је 10 км / х. Брзина струје је 2 км / х. Потребно је одредити колико ће се брод кретати дуж обале, стижући на супротну страну ријеке. Ширина корита је 500 метара.
Овај задатак треба ријешити разбијањем путање брода на двије компоненте: окомите и паралелне са обалом. Користећи податке задатка, за перпендикуларну компоненту путање, можете написати израз:
в * син (60 о ) * т = С 1
Где је в брзина брода, С 1 је ширина реке. Замењујући податке, налазимо време када је брод био на путу:
т = С 1 / (в * син (60 о )) = 0.0577 х
Да би се израчунала путања С 2 паралелна са обалом, брзини протока треба додати на хоризонталну пројекцију брзине брода, затим ће одговарајућа једнакост бити:
С 2 = (в * цос (60 о ) + 2) * т
Замењујући познате вредности, добијамо одговор: брод дуж обале путује 404 метра.