Гауссов метод за решавање матрица. Решење система линеарних једначина Гауссовом методом

24. 3. 2019.

Од почетка КСВИ-КСВИИИ века математичари су почели да интензивно проучавају функције због којих се толико тога променило у нашем животу. Рачунарска технологија без овог знања једноставно не би постојала. За рјешавање сложених проблема, линеарних једнаџби и функција, креирани су различити концепти, теореме и методе рјешавања. Једна од таквих универзалних и рационалних метода и метода за решавање линеарних једначина и њихових система била је Гаусова метода. Матрице, њихов ранг, детерминанта - све се може израчунати без употребе сложених операција.

Шта је слау

У математици постоји концепт СЛАЕ - систем линеарних алгебарских једначина. Каква је она? Ово је скуп м једначина са непознатим варијаблама н непознатим, обично означеним као к, и, з, или к 1 , к 2 ... к н, или другим симболима. Решити овај систем користећи Гауссову методу значи пронаћи све непознате непознанице. Ако систем има исти број непознаница и једнаџби, онда се он зове систем н-тог реда.

Најпопуларније методе за решавање сл

У образовним установама средњег образовања проучавају различите методе рјешавања таквих система. Најчешће су то једноставне једнаџбе које се састоје од двије непознанице, тако да сваки постојећи метод за проналажење одговора на њих неће потрајати дуго. Ово може бити метода супституције, када је друга изведена из једне једначине и замењена првобитном. Или методом одузимања и збрајања. Али Гаусова метода се сматра најлакшом и универзалном. Омогућава решавање једначина са било којим бројем непознатих. Зашто се ова техника сматра рационалном? Једноставно је. Метода матрице је добра јер нема потребе да се непотребни знакови више пута преписују као непозната, довољно је извршити аритметичке операције на коефицијентима - и добити поуздани резултат.

Где се СЛАЕ користе у пракси

Решење СЛАЕ је тачке пресека линија на графовима функција. У нашем високотехнолошком компјутерском добу, људи који су уско повезани са развојем игара и других програма морају знати како да реше такве системе, шта они представљају и како да провере исправност добијених резултата. Програмери најчешће развијају специјалне рачунарске програме за линеарну алгебру, а то укључује систем линеарних једначина. Гауссов метод вам омогућава да израчунате сва постојећа решења. Користе се и друге поједностављене формуле и технике.

Критериј компатибилности СЛАУ

Такав систем се може ријешити само ако је компатибилан. Ради јасноће, ми представљамо СЛАЕ као Ак = б. Има решење ако ранг (А) одговара рангу (А, б). У овом случају (А, б) је матрица проширеног типа, која се може добити из матрице А преписивањем са слободним члановима. Испоставило се да то решава линеарне једначине Гауссова метода је прилично једноставна.

Можда нека нотација није сасвим јасна, тако да морате да погледате све са примером. Претпоставимо да постоји систем: к + и = 1; 2к-3и = 6. Састоји се од само две једначине, у којима су 2 непозната. Систем ће имати рјешење само ако је ранг његове матрице једнак рангу проширене матрице. Шта је чин? Ово је број независних линија система. У нашем случају, ранг матрице је 2. Матрица А ће се састојати од коефицијената лоцираних у близини непознаница, а коефицијенти иза знака "=" такођер се уклапају у проширену матрицу.

Зашто СЛАЕ може бити представљен у матричном облику

На основу критеријума компатибилности према доказаној Кронекер-Цапеллијевој теореми, систем линеарних алгебарских једначина може бити представљен у матричном облику. Помоћу Гаусс-ове каскадне методе можете ријешити матрицу и добити једини поуздан одговор на цијели сустав. Ако је ранг обичне матрице једнак рангу његове проширене матрице, али је мањи од броја непознаница, онда систем има бесконачан број одговора.

Матричне трансформације

Пре него што пређемо на решење матрица, неопходно је знати које се акције могу извршити на њиховим елементима. Постоји неколико основних трансформација:

  • Преписивањем система у матрични приказ и имплементацијом његовог решења могуће је множити све елементе реда истим коефицијентом.
  • Да бисте матрицу претворили у канонски облик, можете замијенити два паралелна реда. Канонска форма подразумева да сви елементи матрице, који се налазе на главној дијагонали, постају јединице, а преостали - нуле.
  • Одговарајући елементи паралелних редова матрице могу се додати један другом.

Јордан-Гауссова метода

Суштина решавања система линеарних хомогених и нехомогених једначина Гаусовом методом је постепено елиминисање непознаница. Претпоставимо да имамо систем од две једначине у којима постоје две непознанице. Да бисте их пронашли, морате проверити компатибилност система. Једначина Гауссовом методом је решена врло једноставно. Потребно је написати коефицијенте који се налазе у близини сваког непознатог у матричном приказу. Да бисте решили систем, морате написати проширену матрицу. Ако једна од једначина садржи мањи број непознатих, онда је потребно ставити "0" уместо елемента који недостаје. Све познате методе трансформације примењују се на матрицу: множење, дељење бројем, додавање одговарајућих елемената редова једни другима и друге. Испоставља се да је у сваком реду потребно оставити једну варијаблу са вриједношћу "1", а остатак довести до нулте форме. За тачније разумевање, потребно је размотрити Гауссову методу са примерима.

Једноставан пример 2к2 системског решења.

Прво узмемо једноставан систем алгебарских једначина у којем ће бити 2 непознанице.

гаусс метод

Поново га напишите у проширену матрицу.

јордан гаусс метод

Да би се решио овај систем линеарних једначина, потребно је урадити само две операције. Потребно је да матрицу доведемо у канонски облик тако да јединице стоје дуж главне дијагонале. Дакле, пребацујући се из матричног погледа назад у систем, добијамо једначине: 1к + 0и = б1 и 0к + 1и = б2, где су б1 и б2 резултујући одговори у процесу решавања.

систем линеарних једнаџби Гаусс метода

  1. Први корак у рјешавању проширене матрице би био: први ред мора бити помножен са -7 и одговарајући елементи додани другом реду, респективно, да би се ријешили једне непознате у другој једнаџби.
  2. Пошто решење једначина Гаусовом методом подразумева редукцију матрице на канонску форму, онда је потребно урадити исте операције са првом једначином и уклонити другу променљиву. Да бисмо то урадили, одузимамо другу линију од прве и добијамо неопходан одговор - СЛАУ решење. Или, као што је приказано на слици, други ред је помножен са коефицијентом -1 и елементи другог реда се додају у прву линију. То је иста ствар.

Као што видите, наш систем је решен методом Јордан-Гаусс. Преписујемо га у жељени облик: к = -5, и = 7.

Пример 3к3 СЛАЕ решења

Претпоставимо да имамо комплекснији систем линеарних једначина. Гауссова метода омогућава израчунавање одговора чак и за наизглед збуњујући систем. Дакле, да би се добио дубљи увид у метод израчунавања, може се прећи на сложенији пример са три непознанице.

линеарне једначине методом Гаусс

Као иу претходном примеру, преписујемо систем у облику проширене матрице и почињемо да је редукујемо у канонску форму.

Рјешавање Гауссове једнаџбе

Да бисте ријешили овај систем, требат ћете подузети много више корака него у претходном примјеру.

решити гауссом

  1. Прво морате направити у првом ступцу један елемент јединице и преостале нуле. Да бисте то урадили, помножите прву једначину са -1 и додајте другу једнаџбу. Важно је запамтити да прву линију преписујемо у изворном облику, а другу у модификованој.
  2. Затим уклоните исту прву непознату из треће једначине. Да бисте то урадили, елементи првог реда се множе са -2 и додају их у трећи ред. Сада се прва и друга линија преписују у оригиналном облику, а трећа - већ са променама. Као што се може видети из резултата, добили смо прву јединицу на почетку главне дијагонале матрице и преостале нуле. Неколико више акција, а систем једнаџби које користе Гауссову методу ће бити поуздано решен.
  3. Сада је потребно извршити операције на другим елементима редова. Трећа и четврта акција могу се комбиновати у једну. Потребно је подијелити другу и трећу линију са -1 како би се уклонили негативни блокови дијагонално. Трећу линију смо већ довели до потребне форме.
  4. Затим другу линију уносимо у канонску форму. Да бисмо то урадили, помножимо елементе трећег реда са -3 и додамо их у други ред матрице. Резултат показује да је и друга линија редуцирана на форму која нам је потребна. Остаје још неколико операција и уклањање коефицијената непознаница из првог реда.
  5. Да би направили 0 из другог елемента линије, потребно је помножити трећу линију са -3 и додати је у први ред.
  6. Следећи кључни корак ће бити додавање у први ред неопходних елемената другог реда. Тако добијамо канонски облик матрице и, сходно томе, одговор.

Као што видите, решење једначина Гаусовом методом је прилично једноставно.

Пример решавања система једначина 4к4

Неки сложенији системи једначина могу се решити Гаусовом методом помоћу компјутерских програма. У постојеће празне ћелије потребно је увести коефицијенте са непознаницама, а сам програм ће корак по корак израчунати потребан резултат, детаљно описујући сваку радњу.

Гаусс методу детаљно

У наставку је дата корак по корак упутства за решавање таквог примера.

• У првом кораку, слободни коефицијенти и бројеви са непознатим вредностима уклапају се у празне ћелије. Дакле, испада иста проширена матрица, коју пишемо руком.

• Затим, све линије су обрнуте тако да се јединични елементи могу изразити дуж главне дијагонале.

• И све неопходне аритметичке операције се изводе како би проширена матрица довела у канонску форму. Треба схватити да одговор на систем једначина није увек исти - они су цели бројеви. Понекад решење може бити из фракцијских бројева.

Валидатион Солутион

Јордановско-Гаусов метод обезбеђује проверу исправности резултата. Да би се утврдило да ли су коефицијенти тачно израчунати, потребно је само да се резултат замени оригиналним системом једначина. Лева страна једначине мора одговарати десној страни, која је иза знака једнакости. Ако се одговори не подударају, онда морате поново да израчунате систем или покушате да примените на њега други метод решавања СЛАЕ који вам је познат, као што је замена или одузимање и додавање. На крају крајева, математика је наука која има велики број различитих техника рјешавања. Али запамтите: резултат мора увек да буде исти, без обзира на метод решења који сте користили.

Гауссова метода: Најчешће грешке при решавању СЛАЕ

Приликом решавања линеарних система једначина најчешће се јављају грешке као што је нетачан пренос коефицијената на матрични облик. Постоје системи у којима су неке непознанице одсутне у једној од једначина, а затим, преносећи податке у проширену матрицу, оне се могу изгубити. Као резултат, приликом решавања овог система, резултат можда неће одговарати стварном.

Још једна од главних грешака може бити погрешно писање коначног резултата. Потребно је јасно схватити да ће први коефицијент одговарати првом непознатом из система, другом према другом и тако даље.

Гаусова метода детаљно описује решење линеарних једначина. Захваљујући њему, лако је извршити потребне операције и пронаћи прави резултат. Поред тога, он је универзални алат за проналажење поузданог одговора на једначине било које сложености. Можда се зато често користи у решавању СЛАЕ.