Линеарне једначине: формуле и примери. Неједнакости и њихово рјешење

Учење решавања једначина је један од главних задатака које алгебра поставља студентима. Почевши од најједноставнијег, када се састоји од једног непознатог, и прелазећи на све сложеније. Ако се не разумеју радње које треба да се изврше са једначинама из прве групе, биће тешко да се позабави другима.

Да бисте наставили разговор, морате се договорити о нотацији.

Општи преглед линеарне једначине са једним непознатим и принципом његовог решења

Било која једначина која може довести до записа овог типа:

а * к = у ,

зове се линеарно . Ово је општа формула. Али често у задацима, линеарне једначине се пишу имплицитно. Затим морате извршити идентичне трансформације да бисте добили опште прихваћени запис. Ове радње укључују:

• отварање заграда;
• померање свих термина са променљивом на леву страну једначине, а остатак на десно;
• доноси такве услове.

У случају када је непозната вредност у имениоцу дељења, потребно је одредити њене вредности на којима израз неће имати смисла. Другим речима, потребно је знати домен једнаџбе.

Принцип којим се рјешавају све линеарне једнаџбе своди се на дијељење вриједности на десној страни једнакости коефицијентом испред варијабле. То јест, "к" ће бити једнако / а.

Посебни случајеви линеарне једначине и њихова решења

Током размишљања, такви моменти могу настати када линеарне једначине узимају један од посебних типова. Свака од њих има специфично рјешење.

У првој ситуацији:

а * к = 0 , штавише, а. 0.

Рјешење такве једнаџбе увијек ће бити к = 0.

У другом случају, "а" узима вредност једнаку нули:

0 * к = 0 .

Одговор на ову једначину ће бити било који број. То јест, он има бесконачан број корена.

Трећа ситуација изгледа овако:

0 * к = ин , где је у. 0.

Ова једначина нема смисла. Јер корени који га задовољавају не постоје.

Општи преглед линеарне једначине са две променљиве

Из њеног имена постаје јасно да у њему већ постоје двије непознате количине. Линеарне једначине са две променљиве изгледају овако:

а * к + в * и = с .

Пошто у запису постоје две непознате, одговор ће изгледати као пар бројева. То није довољно да наведете само једну вредност. Ово ће бити непотпун одговор. Пар вели ~ ина код којих се једна ~ ина претвара у идентитет је ре {ење једнацине. Штавише, одговор је увек први који ће записати променљиву која иде раније у абецедном реду. Понекад кажу да га ти бројеви задовољавају. Штавише, такви парови могу бити бесконачни број.

Како ријешити линеарну једнаџбу с двије непознанице?

Да бисте то урадили, само покупите било који пар бројева који испада да је истина. Ради једноставности, можете узети једну од непознаница да буде једнака било којој један прост број и онда нађите други.

У решавању, често је неопходно да се изврше акције како би се поједноставила једначина. Они се називају трансформације идентитета. Штавише, следећа својства су увек валидна за једначине:

• сваки термин се може пренијети на супротни дио једнакости замјеном његовог знака супротним;
• дозвољено је да лева и десна страна било које једначине буду подељене истим бројем ако није једнака нули.

Примери задатака са линеарним једначинама

Први задатак. Реши линеарне једначине: 4к = 20, 8 (к - 1) + 2к = 2 (4 - 2к); (5к + 15) / (к + 4) = 4; (5к + 15) / (к + 3) = 4.

У једначини која је прва на овој листи, довољно је једноставно поделити 20 на 4. Резултат ће бити 5. То је одговор: к = 5.

Трећа једначина захтева да се изврши трансформација идентитета. Она ће се састојати у објављивању заграда и увођењу таквих услова. После прве акције, једначина има облик: 8к - 8 + 2к = 8 - 4к. Онда морате пребацити све непознанице на леву страну једнакости, а остатак на десно. Једнаџба ће изгледати овако: 8к + 2к + 4к = 8 + 8. Након смањивања таквих термина: 14к = 16. Сада изгледа исто као и први, а његово рјешење је једноставно. Одговор је к = 8/7. Али у математици треба да се распореди цео део погрешна фракција. Тада ће се резултат трансформисати, а "к" ће бити једнак једној целини и једној седмој.

У преосталим примерима, променљиве су у имениоцу. То значи да прво морате знати на којим вредностима су дефинисане једначине. За ово морате да искључите бројеве на којима ће се деноминатори окренути на нулу. У првом примеру, то је “-4”, у другом је “-3”. То јест, ове вредности морају бити искључене из одговора. После тога, треба да помножите обе стране једначине изразима у имениоцу.

Отварајући заграде и дајући сличне изразе, у првој од ових једначина добијамо: 5к + 15 = 4к + 16, ау другом 5к + 15 = 4к + 12. Након трансформација, решење прве једначине је к = -1. Други је једнак "-3", што значи да он нема решења.

Други задатак. Реши једнаџбу: -7к + 2и = 5.

Претпоставимо да је први непознат к = 1, онда једнаџба добија облик -7 * 1 + 2и = 5. Након што је фактор "-7" пребачен на десну страну једначине и промени знак на плус, испада да је 2у = 12. Дакле, и = 6. Одговор: једно од решења једначине је к = 1, и = 6.

Општи поглед на неједнакост са једном варијаблом

Овдје су приказане све могуће ситуације за неједнакости:

• а * к> ин;
• а * к <в;
• а * к ≥ ин;
• а * к ≤в.

Уопштено, изгледа као најједноставнија линеарна једначина, само знак једнакости замењује неједнакост.

Идентична правила трансформације за неједнакост

Као и линеарне једначине, и неједнакости се могу модификовати према одређеним законима. Они се своди на следеће:

1. било који литерални или нумерички израз може се додати на леву и десну страну неједнакости, са знаком неједнакости који остаје исти;
2. такође је могуће множити или делити са истим позитивним бројем, поново се знак не мијења;
3. када се множи или дели са истим негативним бројем, једнакост ће остати истинита под условом да је знак неједнакости обрнут.

Опћи поглед на двоструке неједнакости

Сљедећи проблеми неједнакости могу бити представљени у проблемима:

• ин <а * к <с;
• в ≤ а * к <с;
• у <а * к ≤ с;
• в ≤ а * к ≤ ц.

Двострука се назива, јер је ограничена знаковима неједнакости на обје стране. Решава се коришћењем истих правила као и обичних неједнакости. А проналажење одговора своди се на низ идентичних трансформација. Све док се не добије најједноставнији.

Карактеристике решења двоструких неједнакости

Прва од њих је њена слика на координатној оси. Нема потребе користити ову методу за једноставне неједнакости. Али у тешким случајевима, то једноставно може бити неопходно.

За слику неједнакости потребно је на оси означити све тачке које су се појавиле током расуђивања. То су обје неважеће вриједности, које су означене пунктираним точкама, а вриједности из неједнакости добивене након трансформација. И овде је важно тачно цртати тачке. Ако је неједнакост стриктна, то јест, <ор>, онда су ове вредности пробушене. Код слабих неједнакости, бодови морају бити обојени.

Тада је потребно означити значење неједнакости. Ово се може урадити са излегањем или луковима. Њихово укрштање ће показати одговор.

Друга карактеристика се односи на његов запис. Ево две опције. Први је коначна неједнакост. Други је у облику празнина. Догађа се да му се јављају потешкоће. Интервали одговора увек изгледају као променљива са знаком припадности и заградама са бројевима. Понекад постоји неколико празнина, а затим између заграда морате написати симбол “и”. Ови знаци су следећи: ∈ и ∩. Размак у заградама такође игра улогу. Прва рунда се поставља када се та тачка искључи из одговора, а правоугаони укључује ту вредност. Знак бесконачности је увијек у заградама.

Примери решавања неједнакости

1. Решити неједнакост 7 - 5к ≥ 37.

Након једноставних трансформација се испоставља: ​​-5к ≥ 30. Дељењем по “-5” можете добити следећи израз: к ≤ -6. То је одговор, али се може написати на други начин: к ∈ (-∞; -6].

2. Решите двоструку неједнакост -4 <2к + 6 ≤ 8.

Прво, морате одузети свуда 6. Испада: -10 <2к ≤ 2. Сада морате поделити са 2. Неједнакост ће изгледати као: -5 <к ≤ 1. Након што сте описали одговор на број оси, можете одмах схватити да ће резултат бити од -5 до 1. И прва тачка је искључена, а друга је укључена. То јест, одговор на неједнакост је: к ∈ (-5; 1]).