Како израчунати углове између линије и равнине?

Када проучавамо школски курс геометрије у дводимензионалном простору, много времена посвећујемо разматрању понашања равних линија. Када се окрену студији стереометрије у вишим разредима, теме планова и равних линија у простору долазе до изражаја. Овај чланак се бави једним од ових питања. Наиме, тема израчунавања између равнина и правих углова и удаљености.

Правац на равни и методе за постављање

Да би се успјешно ријешили проблеми рачунања између праваца и равнина кутова и удаљености, потребно је научити како математички поставити те геометријске објекте, као и савладати методе рада с одговарајућим једнаџбама. Почињемо са одређивањем линија у авиону.

Сваки студент зна сљедећу формулу:

и = к * к + б

Рад са њим је прилично згодан у дводимензионалном простору. Лако се користи за цртање равне линије у правоугаоном координатном систему. Осим тога, познавање коефицијента к за сваку од њих омогућава нам да кажемо да ли ће бити паралелни, или да ли се сијеку (за паралелне, њихови коефицијенти к су једнаки).

Ако напишемо дати израз у нешто другачијој форми, добијамо формулу општег типа за правац. Њен облик је следећи:

А * к + Б * и + Ц = 0

Очигледно, користећи једноставне трансформације, можете добити први израз из њега.

Писане формуле могу се користити и за израчунавање угла пресека правих линија. Међутим, ово захтева низ трансформација, што је незгодно. Стога, када задатак захтева проналажење угла, пожељно је користити векторски облик репрезентације линије. Њен поглед се може написати као:

(к; и) = (к ₀ ; и ₀ ) + λ * (а; б)

У овој једнакости, координате Кс и И са индексима нуле описују положај неке тачке кроз коју пролази линија. Вредности а и б су координате вектора који лежи на њему. Може бити усмјерена у једном правцу, ау другој, правац се не мијења. Овај вектор се зове водећи вектор, јер јединствено одређује дистрибуцију равне линије на равни. Ламбда λ је параметар који узима произвољну вредност из скупа реалних бројева.

Напомињемо да је векторски облик записа изузетан, што јасно садржи усмерени сегмент праве линије, чије координате се користе за одређивање угла између две праве линије на равни.

Правац у тродимензионалном простору

У простору који описују три координатне осе, правац је дефинисан у општем облику као пресек равни. Овде, с обзиром на тему чланка, разматрамо само векторску једначину. Сличан је оном за пљоснати случај, али са додатком треће координате:

(к; и; з) = (к ₀ ; и ₀ ; з ₀ ) + λ * (а; б; ц)

Када решавате проблеме, овај израз је згодан за отварање и примењује се у параметарском облику:

к = к ₀ + λ * а;

и = и ₀ + λ * б;

з = з ₀ + λ * ц

Треба напоменути да ће вредност параметра λ, иако арбитрарна, зависити за све три једнакости.

Опис авиона

Као и за равну линију, за авион постоји и више начина за дефинисање. Размотрите само два од њих која су важна да бисте могли ријешити проблеме у пракси.

Прва метода задатка је да доведе једнаџбу општег типа. Слично је и одговарајућем изразу за правац у дводимензионалном случају:

А * к + Б * и + Ц * з + Д = 0

Комбинација прва три коефицијента је координата вектора правца за ову раван. По правилу, означен је симболом н¯, тј.

н¯ = (А; Б; Ц)

Четврти коефицијент Д одређује растојање између паралелних равни које имају прва три идентична коефицијента.

Будући да вектор нп лежи на нормалном нивоу на равни, он је окомит на апсолутно било који вектор и правац конструисан на његовим произвољним двема тачкама. Познавање координата н¯ је кључно код одређивања између правих и углова углова.

Други начин дефинисања равни је векторско-параметарски облик једначине. Тако је написано:

(к; и; з) = (к ₀ ; и ₀ ; з ₀ ) + λ * (а ₁ ; б ₁ ; ц ₁ ) + γ * (а ₂ ; б ₂ ; ц ₂ )

Ова једнакост одражава чињеницу да двије равне линије јединствено дефинирају равнину у простору. Овде други и трећи израз означавају два правца за произвољне равне линије које припадају равни.

Нормални вектор н¯ није експлицитно садржан за овај облик писања, али га је лако израчунати:

н¯ = [(а ₁ ; б ₁ ; ц ₁ ) * (а ₂ ; б ₂ ; ц ₂ )]

Угао између правих линија

Ако су векторске једнакости за сваку од правих линија познате, онда је угао између њих једноставан. Да бисте то урадили, потребно је само да користите особине скаларног производа за сегменте праваца. Ако су векторски водичи означени симболима в¯ и у¯, тада ће тражена формула имати облик:

α = арццос (| (в¯ * у¯) | / (| в¯ | * | у¯ |))

Пошто се у случају пресека праваца формирају два пара једнаких углова, онда се као прави угао између њих узима оштар угао. Из тог разлога формула садржи знак модула у бројнику.

Ова формула за дводимензионални случај је увијек важећа. Добијена вредност од 0 ^о каже да се праве линије не укрштају, већ су паралелне.

Што се тиче простора у простору, поред израчуна по формули, потребно је извршити и додатне прорачуне. Они су повезани са проналажењем тачке укрштања предметних објеката. Чињеница је да се у простору може добити коначна вредност угла α, али се праве линије не укрштају, јер се могу прећи.

Авион, линија и угао њиховог пресека

Да би се пронашао угао између праве и равнине, довољно је знати једнаџбу за сваки од ових објеката. Угао између њих је угао двеју линија које се укрштају, од којих је једна оригинална, а друга припада равни и представља пројекцију оригиналне линије на њу. На доњој слици приказана је раван на којој се правац укршта под углом α.

Ако је вектор усмеравања за директни вектор означен са в¯, а норма за раван је н¯ (види слику), онда израчун кута α се прави помоћу формуле:

α = арцсин (| (в¯ * н¯) | / (| в¯ | * | н¯ |))

Имајте на уму да се у овој формули, за разлику од сличног израза за две линије које се укрштају, користи функција арцсине, а не функција косинуса.

Размак између равних линија на равни и равнине и равне линије у простору

За израчунавање удаљености између предметних објеката у геометрији постоји скуп формула. Примена израза из ње зависи од облика у коме се дају равнина и линија.

Ако су две равне линије дате у општој форми на равни, онда се растојање између њих може израчунати на следећи начин:

д = | А * к ₁ + Б * и ₁ + Ц | / √ (А ² + Б ² )

Овде су к ₁ и и ₁ координате произвољне тачке на једној правој линији, а коефицијенти А, Б, Ц се узимају за другу равну линију. Ова формула је важећа ако су линије паралелне једна са другом. Ако се сијеку, удаљеност је нула.

Размак између линије и прелаза на равни је нула. Ако је правац паралелан са равнином, онда се одговарајућа удаљеност израчунава као:

д = | А * к ₁ + Б * и ₁ + Ц * з ₁ + Д | / √ (А ² + Б ² + Ц ² )

Тамо где координате припадају произвољној тачки на линији.

Задатак: одредити угао између равне линије и равнине

С обзиром на правац и раван:

(к; и; з) = (1; 2; 0) + λ * (- 1; 1; 4);

-5 * к + и - 3 = 0

Који је угао између равне линије и равнине?

Пишемо водиче вектора в и н¯:

в = (-1; 1; 4);

н¯ = (-5; 1; 0)

Замените их одговарајућом формулом за α, добијамо:

α = арцсин (| 5 + 1 + 0 | / (*18 * √26)) ≈ 16.1 ^о

Задатак: пронаћи удаљеност између правих линија

Две једначине равних линија у дводимензионалном простору:

и = 3 * к - 1;

и = 3 к к 3

Колика је удаљеност између њих?

Пошто су коефицијенти к за оба објекта иста (једнака 3), дешава се случај паралелних праваца.

Да бисте израчунали растојање између њих, узмите произвољну тачку прве праве линије, и поново напишите другу једначину уопште, имамо:

координате тачке (0; -1);

3 * к - и + 3 = 0, то јест, А = 3, Б = -1, Ц = 3

Сада се ове вредности могу заменити одговарајућом формулом:

д = | 3 * 0 -1 * (- 1) + 3 | / √ (9 +1) = 4 / √10 ≈ 1,265

Одговор се прима у јединицама овог координатног система.