Како израчунати површину троугла

Троугао је добро позната фигура. И то, упркос богатој разноликости његових облика. Правоугаони, једнакострани, акутни, истострани, тупи. Свака је другачија. Али за свакога треба да знате подручје троугла.

Заједнички за све формуле троуглова које користе дужину стране или висине

У њима су усвојене ознаке: стране - а, б, ц; висине на одговарајућим странама н _и , н _у , н _са .

1. Површина троугла је израчуната као производ од ½, страна и висине спуштене на њој. С = ½ * а * н _а . Слично томе, треба да напишете формулу за друге две стране.

2. Херонова формула, у којој се појављује полу-периметар (обично се означава малим словом п, за разлику од пуног периметра). Полу-периметар се мора бројати на следећи начин: све стране заједно и поделити их на 2. Полу-периметарска формула: п = (а + б + ц) / 2. Тада једнакост за подручје фигуре изгледа овако: С = √ (п * (п - а) * ( п - ц) * (п - ц)).

3. Ако не желите да користите полу-периметар, онда је корисна формула у којој су присутне само дужине страна: С = √ * √ (((а + б + ц) * (б + ц - а) * (а + ц - б) * (а + б - ц)). То је нешто дуже од претходног, али ће помоћи, ако сте заборавили како пронаћи полу-периметар.

Опште формуле у којима се појављују углови троугла

Ознаке које су потребне за читање формула: α, β, γ - углови. Они леже насупрот странама а, б, ц.

1. Према томе, половина производа две стране и синус угла између њих је једнака површини троугла. То је: С = ½ а * б * син γ. Слично томе, формуле за друга два случаја треба написати.

2. Површина једног троугла може се израчунати са једне стране и три позната угла. С = (а ² * син β * син γ) / (2 син α).

3. Постоји и формула са једном добро познатом страном и два угла поред ње. Изгледа овако: С = ц ² / (2 (цтг α + цтг β)).

Последње две формуле нису најлакше. Запамтите их прилично тешко.

Опште формуле за ситуацију када су познати радијуси уписаних или описаних кругова.

Додатне ознаке: р, Р - радијус. Први се користи за радијус уписане кружнице. Други је за описано.

1. Прва формула којом се израчунава површина троугла је повезана са полу-периметром. С = п * р. На други начин, може се написати на следећи начин: С = ½ р * (а + б + ц).

2. У другом случају, мораћете да помножите све стране троугла и поделите их четвороструким радијусом кружнице. У дословном смислу, изгледа овако: С = (а * ц * с) / (4Р).

3. Трећа ситуација вам омогућава да не знате стране, али ће бити потребне вредности сва три угла. С = 2 Р2 ² син α * син β * син γ.

Посебан случај: правоугаоник

Ово је најједноставнија ситуација, јер захтева познавање само дужине обе ноге. Означени су латиничним словима а и ц. Површина правог троугла једнака је половини површине правоугаоника који је завршен.

Математички изгледа овако: С = ½ а * ц. Најлакше се памти. Пошто изгледа као формула за подручје правоугаоника, појављује се само још једна фракција, што значи половина.

Посебан случај: једнакокрачан трокут

Пошто има две једнаке стране, неке формуле за његову област изгледају помало поједностављено. На пример, Херонова формула, која израчунава површину једнакокрачног троугла, има следећи облик:

С = ½ у √ (((+ ½ ин) * (а - ½ ин)).

Ако га претворите, постаће краћи. У овом случају, Херонова формула за једнакокрачан троугао је написана као:

С = у √ (4 * а ² - б ² ).

Нешто једноставнији него за произвољни троугао, формула површине изгледа као да су стране и угао између њих познати. С = ½ а ² * син β.

Посебан случај: једнакостраничан троугао

Обично у проблемима око њега је позната страна или можете некако сазнати. Тада формула, која је површина таквог троугла, изгледа овако:

С = (а ² ) 3) / 4.

Задаци на проналажењу подручја, ако је троугао приказан на карираном папиру

Најједноставнија је ситуација када се прави трокут извлачи тако да се његове ноге подударају са линијама папира. Онда треба само бројати ћелије које се уклапају у ноге. Затим их помножите и поделите са два.

Када је троугао акутно-нагнут или туп, мора бити повучен у правоугаоник. Тада ће се у резултујућем облику појавити 3 троугла. Један је онај који је дат у проблему. А друга два - помоћна и правоугаона. Одредите површину последње две потребе за горњу методу. Затим пребројите подручје правоугаоника и одузмите од њега оне које су израчунате за помоћно. Дефинише се подручје троугла.

Много теже је ситуација у којој се ниједна страна трокута не поклапа са линијама папира. Затим треба да буде уписано у правоугаоник тако да врхови оригиналне фигуре леже на његовим странама. У овом случају, биће три помоћна правоугаоника.

Пример проблема на формули Героне

Цондитион Неки троуглови имају стране. Оне су једнаке 3, 5 и 6 цм.

Одлука. Прво је потребно рачунати полу-периметар троугла. Направите збир свих трију, датих у проблему, бројеве и поделите на два дела. Једноставне калкулације воде до броја 7. Ово је вредност пола метра.

Сада можете израчунати површину троугла користећи горњу формулу. Ундер скуаре роот Испоставља се да је резултат четири броја: 7, 4, 2 и 1. То значи да је површина √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ако није потребна већа прецизност, онда можете извадити квадратни коријен од 14. То је једнако 3.74. Тада ће површина бити једнака 7.48.

Одговор је. С = 2 к 14 цм ² или 7,48 цм ² .

Пример проблема са правим троуглом

Цондитион Једна нога правоугаоног трокута је 31 цм дужа од друге и морате знати њихове дужине ако је површина троугла 180 цм ² .
Одлука. Мораћемо да решимо систем од две једначине. Први се односи на трг. Други је са ставом ногу, који је дат у проблему.
180 = ½ а * ц;

а = ат + 31.
Прво, вредност "а" мора бити замењена у прву једначину. Испада: 180 = ½ (у + 31) * ц. Има само једну непознату количину, тако да је лако ријешити. Након отварања заграда добија се квадратна једнаџба: у ² + 31 ин - 360 = 0. Даје двије вриједности за "ин": 9 и - 40. Други број не одговара одговору, јер дужина стране трокута не може бити негативна вриједност.

Остаје да се израчуна друга нога: додајте 31 на добијени број.Излази 40. То су количине тражене у проблему.

Одговор је. Ноге троугла су 9 и 40 цм.

Задатак проналажења стране кроз подручје, страну и угао трокута

Цондитион Површина троугла је 60 цм ² . Потребно је израчунати једну од његових страна, ако је друга страна 15 цм, а угао између њих 30º.

Одлука. На основу прихваћеног записа, жељена страна "а", позната "у", је задати кут "γ". Тада се формула за подручје може преписати као:

60 = ½ а * 15 * син 30º. Овде је синус од 30 степени 0.5.

Након трансформације, "а" је једнако 60 / (0.5 * 0.5 * 15). То је 16 година.

Одговор је. Потребна страна је 16 цм.

Проблем квадрата исписаног у правом троуглу

Цондитион Врх квадрата са страном од 24 цм подудара се са правим углом троугла. Друга два леже на ногама. Трећи припада хипотенузи. Дужина једне од ногу је 42 цм.Шта је површина правоугаоног троугла?

Одлука. Размотрите два права троугла. Први је дат у задатку. Други се заснива на познатом кораку првобитног троугла. Слични су, јер имају заједнички угао и формирају се паралелним линијама.

Онда су односи њихових ногу једнаки. Ноге мањег троугла су 24 цм (страна квадрата) и 18 цм (задана нога 42 цм одузима страну квадрата 24 цм). Одговарајуће ноге великог троугла су 42 цм и к цм, а то је „к“ који је потребан да би се израчунала површина троугла.

18/42 = 24 / к, тј. Кс = 24 * 42/18 = 56 (цм).

Тада је површина једнака производу од 56 и 42, подељеном на два дела, односно 1176 цм ² .

Одговор је. Потребна површина је 1176 цм ² .