Како израчунати волумен лопте и друге нијансе у калкулацијама

Пре него што почнете да проучавате појам лопте, колики је волумен лопте, размотрите формуле за израчунавање њених параметара, треба да се присетите концепта круга који је раније проучаван током геометрије. Уосталом, већина акција у тродимензионални простор су сличне или произлазе из дводимензионалне геометрије, кориговане за изглед треће координате и трећег степена.

Шта је круг?

Круг је фигура на картезијанској равни (приказана на слици 1); Најчешће, дефиниција звучи као "локус свих тачака на равни, удаљеност од које до одређене тачке (центра) не прелази одређени не-негативни број, назван радијус."

Као што видимо са слике, тачка О је центар слике, а скуп апсолутно свих тачака које попуњавају круг, на пример, А, Б, Ц, К, Е, нису даље од одређеног радијуса (не излазе изван круга приказаног на слици) 2).

Ако је радијус нула, онда се круг претвара у тачку.

Проблеми разумевања

Ученици често збуњују ове појмове. Лако се памти цртајући аналогију. Обруч који деца увијају у часовима физичког васпитања је круг. Схватајући ово или се присјећајући да су прва слова обију ријечи "О", дјеца ће разумјети разлику.

Увођење концепта "лопте"

Лопта је тело (сл. 3), омеђено сферном површином. Каква ће бити "сферна површина" из његове дефиниције: ово је геометријска локација свих тачака на површини, а удаљеност од које до одређене тачке (центра) не прелази одређени не-негативни број, назван радијус. Као што видимо, појмови круга и сферне површине су слични, само се простори у којима се они налазе разликују. Ако нацртамо куглу у дводимензионалном простору, добијамо круг, чија је граница круг (на кугли граница је сферна површина). На слици видимо сферну површину са полупречницима ОА = ОБ.

Лоптица затворена и отворена

У векторским и метричким просторима разматрају се и два концепта везана за сферичну површину. Ако лопта укључује ову сферу сама по себи, онда се она зове затворена, а ако не, онда је лопта отворена. Ово су „напреднији“ концепти, они се проучавају у институцијама са уводом у анализу. За једноставну, чак и кућну употребу, оне формуле које се проучавају током стереометрије од 10-11 класа ће бити довољне. Управо такви концепти су доступни скоро сваком просјечном образованом лицу који ће се даље разматрати.

Концепти које требате знати за сљедеће израчуне

- Радијус и пречник.

- Радијус кугле и његов пречник се одређују на исти начин као и круг.

- Радиус - сегмент који повезује било коју тачку на граници лопте и тачку која је центар лопте.

- Промјер - сегмент који повезује двије точке на граници лопте и пролази кроз његов центар. Слика 5а јасно показује који сегменти су полупречници кугле, а на слици 5б приказани су пречници сфере (сегменти који пролазе кроз тачку О).

Секције у сфери (лопта)

Било који део кугле је круг. Ако пролази кроз центар лопте, то се назива велики круг (круг са пречником АБ), а преостале секције су мали кругови (круг промјера ДЦ).

Површина ових кругова израчунава се помоћу сљедећих формула:

Овде је С ознака површине, Р је радијус, Д је пречник. Присутна је и константа од 3,14. Али немојте бркати да се за израчунавање површине великог круга користећи полупречник или пречник кугле (кугле) и да одредите површину, траже димензије радијуса малог круга.

Постоји безброј таквих секција које пролазе кроз две тачке истог пречника које леже на граници лопте. Као пример - наша планета: две тачке на северном и јужном полу, које су крајеви Земљине осе, иу геометријском смислу - крајеви пречника, и меридијани који пролазе кроз ове две тачке (Слика 7). То јест, број великих кругова у сфери тежи ка бесконачности у броју.

Балл партс

Ако одвојите сферу од сфере уз помоћ одређене "комадне" равни (слика 8), онда ће се она звати сферни или сферични сегмент. Он ће имати висину - окомиту од центра равнине сечења до сферне површине О ₁ К. Тачка К на сферној површини, на коју долази висина, назива се врхом сферног сегмента. И мали круг са радијусом О ₁ Т (у овом случају, према слици, авион није пролазио кроз средиште кугле, али ако секција прође кроз центар, онда ће кружница круга бити велика) настала када је сегмент кугле одсечен, назват ће се база нашег комада лопта - сферни сегмент.

Ако сваку тачку базе сферног сегмента повежемо са центром сфере, добићемо облик који се зове "сектор лопте".

Ако кроз сферу пролазе двије равни које су паралелне једна другој, онда се тај дио кугле која је затворена између њих зове сферни слој (слика 9, која приказује сферу с двије равнине и сферни слој одвојено).

Површина (истакнути дио на слици 9 десно) овог дијела сфере назива се појас (опет, за боље разумијевање, може се цртати аналогија са глобусом, односно са својим климатским зонама - арктичким, тропским, умјереним, итд.), А кругови дионица ће бити базе балл лаиер. Висина слоја је део пречника који је извучен окомито на равнину сечења од центара база. Постоји и концепт сфере. Формира се у случају када равни, које су паралелне једна другој, не секу сферу, већ је додирују у једној тачки.

Формула за израчунавање волумена лопте и њене површине

Лопта се формира ротирањем око фиксног пречника полукруга или круга. За израчунавање различитих параметара овог објекта неће бити потребно превише података.

Запремина лопте, формула за израчунавање која је назначена горе, изведена је помоћу интеграције. Разумећемо ствари.

Круг се разматра у дводимензионалној равни, јер, као што је горе наведено, то је круг који чини основу конструкције лопте. Користимо само његов четврти део (Слика 10).

Узмите круг са радијусом јединице и центар у извору. Једнаџба таквог круга је следећа: Кс ² + И ² = Р ² . Овде изражавамо И: И ² = Р ² - Кс ² .

Обратите пажњу да је резултујућа функција не-негативна, континуална и опада на сегменту Кс (0; Р), јер вредност Кс у случају када посматрамо четвртину круга, лежи од нуле до вредности радијуса, тј. До једног.

Следећа ствар коју радимо је да ротирамо нашу четвртину круга око к-осе. Као резултат, добијамо хемисферу. Да бисмо одредили његов обим, прибјегавамо методама интеграције.

Пошто је овај волумен само хемисфера, дуплирамо резултат, одакле добијамо да је волумен лопте једнак:

Мале нијансе

Ако је потребно израчунати запремину лопте кроз њен пречник, запамтите да је полупречник пола пречника, и да замените ову вредност у горњој формули.

Такође, формула за запремину лопте може се постићи кроз подручје његове граничне површине - сферу. Подсјетимо се да је површина сфере израчуната по формули С = 4πр ² , интегрирајући то, долазимо и до горње формуле за волумен лопте. Из истих формула може се изразити радијус ако услов проблема садржи вредност волумена.