Како пронаћи подручје једнакостраничног троугла: основне формуле

Можете пронаћи подручје једнакостраничног троугла користећи било коју формулу за произвољну фигуру овог типа или користити оне које већ узимају у обзир особитост ове фигуре и математички изрази су значајно поједностављени.

Први случај захтева само замену свих страна истом вредношћу и узимајући у обзир да су сви углови троугла 60º. Тада ће бити потребно извршити једноставне трансформације, што ће довести до тога да формуле дане у готовом облику мало ниже.

Формула 1: позната страна

У овој и наредним формулама усвојена је стандардна нотација за вредности троугла. Више детаља можете наћи у предложеној табели.

Израчунавање површине троугла у овом случају ће се извршити према формули:

С = /3 / 4 * а ² .

Лако се добија из онога што је познато за произвољну фигуру са три стране. Само у формули морате узети у обзир чињеницу да су све стране троугла једнаке.

Тачније, потребна је формула Героне: С = √ (п (па) (пб) (пц)). Вредност полу-периметра за једнакостраничан троугао биће 3а / 2. Тако се израз ((3а / 2) - а) добија у свакој загради испод корена. То ће дати након конверзије а / 2.

Пошто постоје три заграде, овај израз ће имати трећи степен. Дакле, трансформисаће се у 3/8.

И даље треба да се помножи полу-периметром, који је дефинисан као збир страна подељених са 2. Добије се израз: 3а 4/16. После екстракције скуаре роот остаће само израз који је дат у првој формули за подручје једнакостраничног троугла.

Дакле, нема потребе за памћењем многих формула. Можете се једноставно сетити једне - Герона. Из ње, једноставним математичким трансформацијама, сви остали се добијају, на пример, за једнакостраничан троугао.

Формула 2: радијус уписане кружнице

Овај израз је веома сличан претходном уносу. Али још увек постоје значајне разлике: користи се још једно писмо, ирационалност је прешла у именитељ, појавио се фактор 3 и број 4 је нестао.Уопштено говорећи, лако је запамтити.

С = 3√3 * р ² .

Ову формулу се лако добија и од онога датог за произвољни троугао. У њему се радијус помножи са сумом страна и подели са 4. Пошто стране имају исту вредност, сума ће бити замењена са 3а. Сада треба да уклоните "а" да би остала само вредност радијуса. Ово ће захтевати израз у коме је страна подељена са производом 2 и синусом супротне стране угла. Пошто је угао 60º, синусна вредност ће бити /3 / 2. Тада ће страна бити изражена кроз радијус на следећи начин: а = Р3Р. Након једноставне трансформације, можете доћи до израза за област, која је дата на почетку.

Формула 3: дати су кружни круг и његов радијус

Она је веома слична првом. Само у бројнику се појављује број 3, а слово је промијењено у Р.

С = 3√3 / 4 * Р2.

Пошто је радијус два пута већи од оног разматраног у претходном пасусу, јасно је како се испоставља. Једноставно замењује р са р / 2. И неопходне трансформације се спроводе.

Стога се формула не може запамтити. Само имајте на уму однос радијуса уписаних и описаних око једнакостраничног троугла кругова.

Формула 4: позната висина

У овом случају, површина једнакостраничног троугла је:

С = н ² / .3.

Да бисмо разумели како се добија ова формула, биће потребно поново користити заједнички за све троуглове. Изгледа као производ са стране и висине за ½. Сада, да бисмо сазнали подручје једнакостраничног троугла, потребно је да се присетимо или изведемо математички израз за висину.

Лако је научити ако искористите чињеницу да се висина формира правоугаони троугао. Дакле, висина се може наћи као нога - из Питагорина теорема. Друга нога ће бити једнака половини стране, пошто је висина такође медијана (ово је добро познато својство једнакостраничног троугла). Тада ће се висина одредити као квадратни корен разлике два квадрата. Прва "а", а друга "а / 2". Након ерекције у другом степену и вађења коријена остаје: н = (/3 / 2) * а. Из ње а = 2н / .3. Након што га заменимо основном формулом за све троуглове, добијамо израз који је означен на почетку одељка.

Пример бр

Цондитион Израчунајте површину једнакостраничног троугла, ако је познато да је његова страна 4 цм.

Одлука. Пошто је позната вредност страна фигуре, потребно је користити прву формулу.

Прво морате да квадрирате број 4. Из ове акције добијате број 16. Сада се смањује са четири стоје у имениоцу. И као резултат, 4 и ремаин3 остају у бројнику, а именитељ постаје једнак једном, што значи да се једноставно не може забиљежити. То је резултат који је био потребан да се нађе у проблему.

Одговор: 4√3 цм ² .

Пример 2

Цондитион Све стране једнакостраничног троугла једнаке су 2√2 дм. Израчунајте његову површину.

Одлука. Аргументи су исти као у првом задатку. Само ће квадратна страна бити другачија. Мора бити одвојено уграђена други степен 2 и ирационалност. А резултат ће бити следећи: 4 * 2 = 8. Након редукције са имениоцем, 2 и ремаин3 остају у нумератору фракције, а именитељ нестаје.

Одговор: 2√3 дм ² .

Пример број 3

Цондитион Круг је исписан у једнакостраничном троуглу, његов радијус је 2,5 цм, а потребно је израчунати површину троугла.

Одлука. Да бисте израчунали жељену вредност, морате користити другу формулу.

Прво, вредност радијуса мора бити квадратна. Испада 6.25. Тада је потребно да се ова вредност помножи са 3. Резултат ове акције је број 18.75. Али то није коначна вриједност: она ће имати фактор ,3, који је присутан у кориштеној формули.

Одговор: 18.75√3 цм ² .

Пример 4

Цондитион Потребно је одредити која је површина једнакостраничног троугла једнака ако је њена висина позната - 3 дм.

Одлука. Наравно, треба да изаберете четврту формулу. Уз његову помоћ, најлакши начин да пронађете одговор на овај проблем.

Довољно је само да квадрати број 3, односно висину, која ће дати вредност 9. И онда је поделити са ,3, стојећи у формули.

Пошто у математици није уобичајено оставити ирационалност у именитељу одговора, морате га се ријешити. Да би се то урадило, фракција 9 / вилл3 ће морати да се помножи са фракцијом са истим нумератором и имениоцем, односно /3 / .3. Из ове акције, у бројнику се појављује вредност 9√3, а број 3 се појављује у имениоцу.

Ова фракција То може бити и требало би смањити за 3. Ово је крајњи резултат.

Одговор: површина је 3√3 дм ² .

Пример број 5

Цондитион Даје се једнакостраничан троугао са површином од 27 цм2. Овом вредношћу треба да знате дужину стране слике.

Одлука. Пошто се ради о страни, прва формула ће урадити. Из ње одмах можете извести математички израз који вам омогућава да одредите страну троугла.

Да бисте то урадили, подручје се мора помножити са 4 и поделити са квадратним кореном од три. Тако да добијете вредност за страну на тргу. Да бисте добили само страну, морате извадити коријен. Израз за страну ће изгледати овако: а = 2 * √ (С / )3).

Пошто је подручје познато, можете одмах наставити са израчунавањем. Радикални израз изгледа као коефицијент 27 и .3. Треба да се ослободимо ирационалности у имениоцу. Испада да је 27√3, подељено са 3. Након редукције, 1 остаје у имениоцу, који не можете да пишете, а 9√3 остаје у нумератору.

Следећи корак је да издвојите корен из резултујућег израза. Први фактор даје вредност 3. Али друга, ,3, захтева пажњу. Да бисте поједноставили задатак, можете извадити те коријене и заокружити вриједности.

=3 = 1,73; сада извадимо корен из њега и добијемо 1.32.

Остаје само да се помножи са 2 и добије жељени резултат.

Одговор: страна је једнака 2,64 цм.