Како направити равну једнаџбу на двије точке: дводимензионалне и тродимензионалне случајеве

Правац у геометрији је један од најважнијих елемената, јер се из њега прикупљају многе фигуре, како у равни, тако иу простору. Довољно је навести троугао, паралелограм, призму, пирамиду - све их формирају пресечене равне линије. Овај чланак одговара на питање како направити равну једнаџбу користећи двије точке.

Једначина линије за дводимензионалне и тродимензионалне случајеве

Пре него што пређемо на дискусију о томе како саставити равну линију из две тачке, треба разумети шта је у питању.

Једнаџба праве линије се схвата као једнакост повезана са усвојеним координатним системом, и све вредности варијабли које је задовољавају мора да лежи на једној правој линији. У дводимензионалним и тродимензионалним случајевима, ова једначина се може дефинисати на следећи начин:

К = П + α * у¯

Овде је К координата произвољне тачке линије, П је координата одређене тачке која припада линији, у¯ је вектор правца, а било који реални број. Вектор правца у је паралелан са правом. Овај израз се назива параметарско-векторска једначина.

У дводимензионалном случају, свака тачка на равни је јединствено дефинисана са две координате к и и, тако да можете написати једнаџбу линије у облику:

(к; и) = (к ₀ ; и ₀ ) + α * (а; б)

Где (к ₀ ; и ₀ ) су координате познате тачке линије, (а; б) су координате вектора за усмеравање. У параметарском облику, ова једначина се може преписати као систем од две једнаџбе:

к = к ₀ + а * а;

и = и ₀ + α * б.

Изражавајући алфа параметар и изједначавајући добијене једнакости, долазимо до облика:

и = б / а * к + (и ₀ -к ₀ * б / а) или

и = А * к + Ц, где је А = б / а, Ц = (и _{0 -} к ₀ * б / а)

Добијени израз је познат сваком студенту. Назива се општа једначина линије на равни.

У простору свака тачка није дата са два, већ са три координате, па његова параметарско-векторска једначина има облик:

(к; и; з) = (к ₀ ; и ₀ ; з ₀ ) + α * (а; б; ц)

Параметарско-векторска једначина је погодна за коришћење када треба да направите једначину праве линије која пролази кроз две тачке.

Правац и две тачке

Сада размотрите питање чланка директно. Како направити директну једнаџбу користећи двије точке? Прво, добијамо једначину на равни, а затим је генерализујемо за тродимензионални случај.

Претпоставимо да постоје две тачке на равни П (к ₁ ; и ₁ ) и К (к ₂ ; и ₂ ). Ако узмемо разлику између координата тачака, добијамо вектор који се усмерава од једног до другог. Овај вектор је једнак:

ПК¯ (к ₂ -к ₁ ; и ₂ -и ₁ )

У овом случају, ПК¯ се усмерава из П (почетак усмереног сегмента) у К (његов крај). Пошто обе тачке припадају линији, вектор ПК¯ припада њој. То значи да се може сматрати вођењем. Једначина праве линије има облик:

(к; и) = (к ₁ ; и ₁ ) + α * (к ₂ -к ₁ ; и ₂ -и ₁ )

Овде смо узели тачку П. Ако је заменимо са тачком К, онда се једначина неће променити.

Како направити једнаџбу правца у простору користећи двије точке? Сумирајући добијену формулу за авион, добијамо:

(к; и; з) = (к ₁ ; и ₁ ; з ₁ ) + β * (к ₂ -к ₁ ; и ₂ -и ₁ ; з ₂ -з ₁ )

Друго слово за параметар се узима да би се показала независност ове и претходних једначина.

Пример решавања проблема

Пошто смо схватили како да направимо директну једначину за две тачке, даћемо пример коришћења знања стеченог за дводимензионални случај.

Претпоставимо да постоје тачке на равни (3; -4) и (0; 7). Неопходно је направити директну једнаџбу кроз двије точке.

Израчунајте координате векторског водича:

(0-3; 7 - (- 4)) = (-3; 11)

Параметарско-векторска једначина има облик:

(к; и) = (3; -4) + α * (- 3; 11)

Отворите га и унесите у општи облик:

к = 3 - 3 * α => α = (к-3) / (- 3);

и = -4 + 11 * α => α = (и + 4) / 11;

(к-3) / (- 3) = (и + 4) / 11 =>

и = -11 / 3 * к + 7.

Једнаџбу смо добили у уобичајеном (општем) облику. Можете проверити његову исправност тако што ћете заменити координате обе тачке из стања проблема.