Системи бројева: примери. Превођење бројевних система

Говорећи на најједноставнијем језику, систем бројева је начин представљања бројева. Користили смо метод израчунавања приликом рачунања 10. Други системи бројева, на пример, имају базу од 16 (хексадецимални), 8 (октални) и 2 (бинарни).

Прехисториц тимес

Као што су се први покушаји писања појавили након развоја говора, први напори да се графички прикажу бројеви појавили су се након што су људи научили рачунати. Вероватно најранији начин бројања је нека врста система за бројање физичких објеката, као што су шљунак или штапићи. Судећи према обичајима садашњих аутохтоних народа, као и најстарији трагови писаних или скулптуралних налаза, најраније фигуре су биле једноставне посекотине на даскама, огреботине на камену, ознаке на комаду керамике, итд. Без фиксних јединица, без новца, без трговине поред најпримитивнијег бартер-а, без пореског система и без других потреба које су подржавале живот, људи нису требали писане бројеве све до почетка такозваних историјских времена.

Прве методе бројања

Када је постало неопходно да се често броје бројке које прелазе 10, нумерисање је требало систематизовати и поједноставити; то се обично чинило користећи групу или групу. Заправо, најранији забележени бројеви су били једноставни линеарни знаци за мале бројеве са посебним обликом за 10. Ови се симболи појављују у Египту већ 3400. пне и у Мезопотамији већ 3000. пне, на Криту (око 1200. пне). АД) иу Индији (око 300. пне).

Наравно, посебно место заузима број 10 броја људских прстију, што потврђује модерну употребу ове основе не само у логичкој структури децималног система, већ иу именима бројева на многим језицима.

Разноликост метода бројања

Међутим, не треба закључити да је 10 или једина могућа основа или једина која се заправо користи. Постоји много примера бројних система. Бинарна, у којој је бројање "један, два, два и један, два и два, два и два и један", итд., Налази се међу најстаријим племенима Аустралије, на многим језицима народа Торресовог пролаза и суседној обали Нове Гвинеје, неких афричких пигмија и разних јужноамеричких племена. Аутохтони народи Тиерра дел Фуего и јужноамерички континент користе системе бројева са базама три и четири. Основни систем број пет је веома стар, али у свом чистом облику, изгледа да се тренутно користи само у неким племенима у Јужној Америци. На другим местима, он је комбинован са децималним или дванаест децималним системом, где је база 20. На сличан начин, систем базиран на 6 је реткост у северозападној Африци и повезан је са дванаестом основним системом.

Током историјског развоја, децимални систем је коначно засенио све остале. Ипак, још увијек постоје многи други системи који се углавном користе у комерцијалним и стамбеним индустријама. Дакле, база 12 се појављује као број инча у стопама, мјесеци у години, унци у фунти, и два пута за 12 сати дневно, као и десетак кориштених у прорачуну. База 60 се налази код мерења времена и углова.

Дигитални системи

Прве примитивне цифре биле су |, ||, ||| итд., на пример, у Египту и древној Грчкој, или -, =, итд., као у Источној Азији. Овај метод рачунања одговарао је једноставним потребама људи. Како је живот постао сложенији, потреба за бројем група бројева постала је очигледна, и то је био само мали корак од једноставног система са именима за само један и десет до појављивања других специјалних бројева, на основу којих можете одредити колико је бројевних система постојало и постојало. Понекад је овај процес био несистематичан. На пример, Иукагхир из Сибира сматрао је "један, два, три, три и један, пет, два три, два три и један, два четири, десет са једном пропуштеном, десет". Обично, међутим, регуларнији систем је довео до чињенице да се већина ових система може класификовати, барем генерално, у складу са логичким принципима на којима се они заснивају.

Једноставни групни системи

На основу своје вредности, систем бројева се може сматрати методом груписања бројева. У свом чистом облику, једноставан систем груписања је додељивање посебних имена за мале бројеве, базу б и његове моћи б2, б3, итд., До степена бк који је довољан да представља све бројеве који су заиста потребни за употребу. Средњи бројеви се затим формирају додавањем, сваки се знак понавља потребан број пута, као што је 23 записано - КСКСИИИ - римским бројевима.

Најранији пример оваквог система бројева је образац који се налази у египатским хијероглифима. Користили су га стари Египћани за писање на камену.

Позициони систем бројева

Оне укључују оне у којима позиција (цифра) приликом писања броја одређује њену вредност. Систем децималних бројева је пример позиционог система у коме су, након усвајања базе б, посебним именима додељени бројеви 1, 2, ..., б-1, а сви већи бројеви се пишу као секвенце ових цифара. То је једини међу бројним системима који се могу користити за описивање великих бројева. То је зато што сваки други тип даје посебна имена различитим бројевима већим од б, а сви бројеви захтевају бесконачан број имена. Успех позиционог система бројева зависи од чињенице да се за произвољну базу б сваки број Н може написати јединствено у облику:

Н = анбн + ан - 1бн - 1 + ⋯ + а1б + а0,

где су а, ан - 1, ..., а0 бројеви; то јест, бројеви из групе 0, 1, ..., б - 1. Тада се Н у бази б може представити низом анан - 1 ... а1а0 знакова. Овај принцип је коришћен у мултипликативним групним системима. Позициони систем је изведен из мултипликативног једноставно искључивањем имена степена б, б2, итд., И одређује се у зависности од позиције бројева за презентацију ове информације. Међутим, онда је потребно користити неки знак за нулу да би се назначило било које недостајуће основно овлашћење; иначе, 792 може значити, на пример, или 7М9Кс2 (тј. 7,092) или 7Ц9Кс2 (792).

Развој у различитим земљама

Пример оваквог типа система бројева је метода коју су развили Бабилонци (отприлике 3000-2000 пне). Овде је као основа коришћен број 60. Такав систем се зове хексадецимални. Са тако великом базом, било би незгодно имати неповезана имена за бројеве 0, 1, ..., 59, тако да је за ове бројеве коришћен једноставан систем груписања на дно 10.

Поред чињенице да је овај систем био тежак због своје велике базе, Вавилонски систем је до касно од патње трпио због одсуства нуле.

Током раних експедиција на Јукатан, откривен је још један пример система бројева Маја. Коришћен је углавном у календару, а не за комерцијалне или друге прорачуне. То је био добро развијен позициони систем. Његова база је број 20. Бројеви 0, 1, ..., 19, као у Бабилону, формирани су једноставним системом групирања, у овом случају базом 5.

Ни Маја ни Вавилонски системи нису идеални за аритметичке прорачуне, јер цифре мање од 20 или 60 нису представљене појединачним карактерима.

Еволутион

Даљи развој ове идеје је повезан са Индијанцима, који су такође први користили нулу у модерном имиџу. У системима позиционирања, неки знак је потребан да би се означило место где база заправо није пронађена. Хиндуси су ово означили тачком или малим кругом, који је добио име суниа, санскритска реч "празна". Онда, око 800. године ова ознака је прослеђена Арапима, ау преводу је вредност остала непромењена. Након тога, упознао се с латинским језиком (око 1200), док је изговор сачуван, али је вриједност занемарена. Накнадне промене довеле су до модерног означавања.

Хинду-арапски систем

Постоји неколико различитих мишљења о пореклу модерних западњачких бројева: они обично говоре о њиховом арапском пореклу, али је боље размотрити хинду-арапски. У овом случају, тврди се да је њихово порекло повезано са Арапима, Персијанцима, Египћанима и Хиндусима. Није искључено да је комуникација између трговаца била прилика да се ови симболи пренесу из земље у земљу, тако да модерне западне фигуре могу доћи из различитих извора. Међутим, колико је познато, земља која је први користила највећи број ових нумеричких форми је Индија. 1, 4 и 6 се налазе у натписима Ашоке (ИИИ век пне); 2, 4, 6, 7 и 9 се појављују у натписима Нана Гхат након око једног века; и 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 9 у пећинама Насик 1. или 2. век наше ере. Сви ови бројеви имали су облик који је углавном сличан данашњим.

Предности које поседује савршен систем позиционирања су толико бројне и толико очигледне да су хинду-арапски бројеви и база 10 прихваћени скоро свуда. Може се рећи да је то најближи приступ универзалном људском језику.

Бинарни систем

Међутим, постоји област у којој уобичајени децимални систем није најбољи: компјутер. Овде бинарни позициони систем има више предности од децималног. У овом систему, база 2 одређује колико је бројева у бинарном бројевном систему: овдје постоје само двије знаменке - 0 и 1; број два је овде представљен као 10, јер игра исту улогу као десет у децималном систему.

Бинарни број је обично много дужи од његовог одговарајућег децималног броја; на пример, 256 058 има бинарни приказ 111 11010 00001 11010. Бинарна цифра, као јединица у систему бројева, носи мање информација него децимална цифра. Разлог за већу дужину бинарног броја је у томе што бинарна цифра разликује само двије могућности: 0 или 1, док децимална знаменка разликује 10 могућности.

Октални и хексадецимални бројни системи

Њихова употреба је такође повезана са рачунарима и програмирањем.

Старији систем нумерисања рачунара је октални број, где је база број 8. Бројеви коришћени у овом систему су: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Вредност “осам” се уписује као “1 осам и 0 јединица” или 10. Свака вредност позиције је осам пута другачија од следеће.

Са техничке тачке гледишта, постоји толико различитих рачунских језичких протокола за октални систем.

Други систем се зове хексадецимални, јер овај систем има базу од 16. Важеће шифре укључују нормалне децималне знакове 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, као и шест слова А, Б, Ц , Д, Е и Ф, укупно шеснаест. Вредност сваке позиције се разликује од претходне шеснаест пута.

Октални и хексадецимални системи би били бесмислени да није њихова способност да се лако конвертују у и из бинарног система. Њихов главни циљ је да служе као "скраћени" начин означавања броја представљеног електронски у бинарном облику. Пошто су основе окталних (8) и хексадецималних (16) система парне и вишеструке на бинарној бази (2), бинарни битови могу бити груписани заједно и бројеви у системима бројева могу се директно претворити у окталне или хексадецималне цифре. Када се конвертује у октални систем, бинарни битови се групишу у три (јер је 23 = 8), ау хексадецималном - бинарни битови се групишу у четири (зато што је 24 = 16).

Слично томе, конверзија бројева у окталном или хексадецималном броју у бинарне бројеве врши се помоћу сваке окталне или хексадецималне цифре и претвара се у еквивалентну бинарну (3 или 4-битну) групу, а затим се све групе битова комбинују.