Поинцареова теорема једноставним ријечима

Јулес Хенри Поинцаре (1854-1912) водио је Паришку академију наука и изабран је на научне академије у 30 земаља свијета. Он је имао скалу од Леонарда: његови интереси су обухватали физику, механику, астрономију, филозофију. Математичари из читавог свијета још увијек кажу да су само двије особе у повијести заиста знале ову знаност: њемачки Давид Гилберт (1862-1943) и Поинцаре.

Године 1904. научник је објавио рад који је, између осталог, садржао претпоставку, названу Поинцареова теорема. Потрага за доказима истине ове изјаве трајала је око једног века.

Фоундер Топологи

Математички гениј Поинцареа је импресиван у броју секција науке, где је развио теоријске основе различитих процеса и феномена. У време када су научници направили пробоје у новим световима космоса иу дубинама атома, било је немогуће без једне основе опште теорије универзума. Претходно непознате гране математике постале су таква база.

Поинцаре је тражио нови поглед на небеску механику, створио је квалитативну теорију диференцијалних једначина, теорију аутоморфних функција. Научници су постали основа посебна теорија релативности Еинстеин. Поинцареова теорема о повратку рекла је, између осталог, да је могуће разумети својства глобалних објеката или појава испитивањем саставних честица и елемената. То је дало снажан подстицај научним истраживањима у физици, хемији, астрономији, итд.

Геометрија је грана математике у којој је Поинцаре постао признати иноватор и свјетски лидер. Теорија Лобачевског, отварајући нове димензије и просторе, још увек је требала јасан и логичан модел, а Поинцаре је дао идеје великог руског научника примењеном карактеру.

Развој нееуклидске геометрије био је настанак топологије - гране математике, која се називала геометрија постављања. Она проучава просторне односе тачака, линија, равни, тела итд. без обзира на њихове метричке особине. Поинцареова теорема, која је постала симбол најтврдокорнијих проблема у науци, настала је управо у дубинама топологије.

Један од седам миленијумских циљева

На самом почетку 21. века, једна од дивизија Америчког универзитета у Кембриџу - математички институт заснован на средствима бизнисмена Ландона Т. Цлаиа - објавио је листу проблема Миленијумских награда (миленијумски проблеми). Он је садржао седам тачака из класичних научних проблема, за решење сваке од њих је успостављена награда од милион долара:

• Једнакост класа П и НП (о подударности алгоритама за рјешавање проблема и методе за провјеру њихове исправности).
• Хоџова хипотеза (о повезаности објеката и њиховој сличности, састављена за њихово проучавање од “цигли” са одређеним својствима).
• Поинцареова претпоставка (свако једноставно повезано компактно тродимензионално мноштво без границе је хомеоморфно тродимензионалној сфери).
• Риеманнова хипотеза (о правилности пласмана примес).
• Теорија Ианг - Миллса (једначине из поља елементарних честица, које описују различите типове интеракција).
• Постојање и глаткоћа рјешења Навиер-Стокес-ових једнаџби (описати турбуленцију протока зрака и флуида).
• Бирцх - Свиннертон-Диер-ова претпоставка (о једнаџбама које описују елиптичке кривуље).

Сваки проблем је имао веома дугу историју, потрага за њиховим решењем довела је до појаве потпуно нових научних области, али једини исправни одговори на постављена питања нису пронађени. Разумијевање људи је рекло да је новац из Цлаи фондације сигуран, али то је било тек до 2002. године - онај који је доказао Поинцаре теорем. Истина, он није узео новац.

Класична формулација

Хипотеза за коју се потврда налази постаје теорема која има исправан доказ. То је управо оно што се десило са сугестијом Поинцареа о својствима тродимензионалних сфера. У општијем облику, овај постулат говори о хомеоморфизму сваке варијанте димензије н и сфери димензије н као неопходном услову за њихову хомотопску еквиваленцију. Сада позната Поинцареова теорема односи се на варијанту када је н = 3. Управо у тродимензионалном простору математичари су чекали на потешкоће, ау другим случајевима доказ је био бржи.

Да би барем мало схватили значење Поинцаре теорема, не може се без упознавања са основним појмовима топологије.

Хомеоморфизам

Говорећи о хомеоморфизму, топологија га дефинише као један-на-један кореспонденцију између тачака једне и друге фигуре, у неком смислу, неразлучивости. Поинцареову теорему је тешко дати неспремним. За чајнике можете дати најпопуларнији примјер хомеоморфних фигура - лопта и коцка, крофна и круг су такођер хомеоморфни, али не и круг и коцка. Слике су хомеоморфне ако се једна фигура може добити произвољном деформацијом од друге, а ова трансформација је ограничена неким својствима површине фигуре: она не може бити подерана, пробушена, изрезана.

Ако је коцка напухана, лако може постати кугла, ако је лопта згњечена надолазећим покретима, можете добити коцку. Присутност рупе у крафни и рупа која се формира дршком круга, чини их хомеоморфним, иста рупа онемогућава окретање круга у куглу или коцку.

Повезивање

Рупа је важан концепт који дефинише својства неког објекта, али категорија апсолутно није математичка. Уведен је концепт повезивања. Он садржи многе тополошке поставке, укључујући и Поинцаре теорем. Једноставним речима, то можете рећи: ако омотате површину кугле са гуменом петљом, она ће склизнути и пузати. То се неће догодити ако постоји рупа, као торус, у којој можете проћи ову траку. Тако се одређује главни знак сличности или разлике предмета.

Вариети

Ако је објекат или простор подељен на мноштво саставних делова - суседства која окружују тачку - онда се њихова опћенитост назива многострукост. Управо тај концепт садржи Поинцаре теорем. Компактност значи коначан број елемената. Свако појединачно суседство поштује законе традиционалне - еуклидске - геометрије, али заједно чине нешто сложеније.

Најадекватнија аналогија ових категорија је површина Земље. Слика њене површине је мапа њених појединачних подручја, сакупљених у атласу. На глобусу, ове слике имају облик лопте, која се, у односу на простор Универзума, претвара у тачку.

Тродимензионална сфера

По дефиницији, сфера је скуп тачака које су еквидистантне од центра - фиксне тачке. Једнодимензионална сфера се налази у дводимензионалном простору у облику круга на равнини. Дводимензионална сфера - површина лопте, њена "коре" - скуп тачака у тродимензионалном простору и, сходно томе, тродимензионална сфера - суштина је Поинцаре теореме - површине четверодимензионалне кугле. Врло је тешко замислити такав објект, али, кажу, ми смо унутар таквог геометријског тијела.

Математичари такође дају следећи опис тродимензионалне сфере: претпоставимо да се нашем уобичајеном простору, који се сматра неограниченим и дефинисаним са три координате (Кс, И, З), додаје тачка (у бесконачности) на такав начин да се увек може ући померањем у било којој правац у правој линији, тј. свака линија у овом простору постаје круг. Каже се да постоје људи који то могу замислити и мирно се оријентирати у таквом свијету.

За њих, уобичајена ствар - тродимензионални торус. Такав објекат се може добити двоструким понављањем два у једној тачки, који се налази на супротним (на пример, десној и левој, горњој и доњој) површини коцке. Да бисмо покушали да замислимо тродимензионални торус са наших уобичајених позиција, треба спровести апсолутно нереалан експеримент: потребно је изабрати правце, међусобно окомите, - горе, лево и напред - и почети се кретати у било којој од њих у правој линији. После неког (коначног) времена из супротног правца, враћамо се на почетну тачку.

Такво геометријско тело је од фундаменталног значаја ако желите да разумете шта је Поинцаре теорем. Перелманов доказ се своди на оправдање постојања у тродимензионалном простору само једне једноставно повезане компактне многострукости - 3-сфере, друге, попут 3-торуса, нису једноставно повезане.

Дуг пут до истине

Више од пола века прошло је пре него што се појавило решење Поинцаре теорема за веће од три димензије. Стевен Смале (рођен 1930.), Јохн Роберт Стеллинг (1935–2008), Ериц Цхристопхер Зиман (рођен 1925.) пронашао је рјешење за н једнако 5, 6 и једнако или веће од 7. Само је 1982. године Мицхаел Фриедман (рођен 1951.) ) је награђен највишом математичком наградом - Фиелдс Премиум - за доказивање Поинцареове теореме за сложенији случај: када је н = 4. Године 2006. ова награда - медаља за поље - додељена је руској математици из Санкт Петербурга. Грегори Иаковлевицх Перелман је доказао Поинцаре теорем за тродимензионалну вишеструку и тродимензионалну сферу. Одбио је да прими награду.

Обични геније

Григори Иаковлевицх је рођен 13. јуна у Лењинграду, у интелигентној породици. Његов отац, инжењер електротехнике, отишао је у Израел на стално пребивалиште почетком деведесетих, његова мајка је предавала математику у стручној школи. Поред љубави према доброј музици, усадила је свом сину страст за решавањем проблема и загонетки. У 9. разреду, Грегори је прешао у Физичку и математичку школу бр. 239, али је од 5. разреда похађао Математички центар у Палати пионира. Победе на Алл-Унион и Интернатионал Олимпијадама омогућиле су Перелману да уђе у Лењинградски универзитет без испита.

Многи стручњаци, посебно Руси, кажу да је Григориј Јаковљевић био спреман за незапамћено полетање од стране високе класе лењинградске школе геометара, коју је положио на механичком одељењу Лењинградског државног универзитета и на постдипломској школи на Математичком институту. В.А. Стеклов. Бецоминг Кандидат наука почео је да ради у њему. Тешко време деведесетих присилило је младог научника да оде на посао у САД. Они који су га познавали тада су приметили његов аскетизам у свакодневном животу, посвећеност послу, одличну припрему и високу ерудицију, што је постало гаранција да је Перелман доказао Поинцареову теорему. Овај проблем је помно узео након повратка у Санкт Петербург 1996. године, али је почео да размишља о томе у Сједињеним Државама.

Ригхт дирецтион

Григориј Јаковљевић напомиње да је одувек био фасциниран сложеним проблемима, као што је Поинцаре теорем. Перелман је почео да тражи доказе у правцу преузетом из разговора са професором Колумбија универзитета Рицхардом Хамилтоном (рођен 1943.). Током свог боравка у Сједињеним Државама, он је посебно путовао из другог града на предавања овог изузетног научника. Перелман примећује одличан добронамеран став професора према младом математичару из Русије. У свом разговору, Хамилтон је поменуо Рицциве токове - систем диференцијалних једначина - као начин за решавање теорема геометризације. Након тога, Перелман је покушао да контактира Хамилтона и разговара о напретку рада на том задатку, али није добио одговор. Дуго времена након повратка у домовину, Григориј Јаковљевић је провео сам са најтежим задатком, што је био Поинцаре теорем. Доказ о Перелману је резултат огромног напора и самоодрицања.

Хамилтон се зауставио када је видео да се под трансформацијама кривина под дејством Риццијевих токова формирају сингуларне (претварају у бесконачност) зоне, које нису предвиђене Поинцаре теоремом. Једноставним речима, Перелман је успио неутрализирати формирање таквих зона, а разноликост се сигурно претворила у сферу.

Рицци тече

Једноставно спојена тродимензионална многострукост обдарена је геометријом, уведени су метрички елементи са удаљеностима и угловима. То је лакше разумети на једнодимензионалним многострукостима. Глатка затворена крива на еуклидској равни је обдарена у свакој тачки тангентним вектором дужине јединице. Приликом преласка кроз кривину, вектор се ротира са одређеном угловном брзином, која одређује закривљеност. Тамо где је линија више закривљена, закривљеност је већа. Закривљеност је позитивна ако је вектор брзине окренут према унутрашњости равни коју наша линија дели, а негативна ако је окренута према ван. На тачкама инфлексије, закривљеност је 0.

Сада је свакој тачки криве додељен вектор који је окомит на вектор. ангулар велоцити и дужину која је једнака вредности закривљености. Њен смер је унутра са позитивном кривином и споља са негативним. Свака тачка је направљена да се креће у правцу и са брзином одређеном одговарајућим вектором. Затворена кривуља повучена било где у равни, са таквом еволуцијом, претвара се у круг. Ово је тачно за димензију 3, што је и оно што је потребно да се докаже.

Нема пророка ...

Отишао је на свој Еверест, који су признали математичари Поинцареова теорема. Доказ Перелман је објављен на интернету у облику три мала чланка. Одмах су изазвали узбуну, иако руски математичар није ишао путем - објављивањем у специјализованом часопису уз професионалне критике. Григориј Јаковљевић је објаснио суштину свог открића на америчким универзитетима мјесец дана, али је број људи који су у потпуности разумјели његов ток мисли врло споро растао.

Само четири године касније појавио се закључак највећих ауторитета: докази руског математичара су тачни, први проблем миленијума је решен.

Ера друштвених мрежа

Морао је да издржи узбуђење и грубост у друштвеним мрежама, тишину оних које је поштовао и вапаје других који су га подучавали животу. Енергетски Кинези су прво проценили његов допринос решавању проблема на 25%, пошто је за себе и друге рачунао 80! Онда се чини да је дошло до светског признања, али не могу сви да га поднесу. Желим вјеровати: он је поднио, иу свом животу - склад жеља и прилика.