Релативна и апсолутна грешка: концепт, прорачун и својства

У нашим годинама, човек је измислио и користио велики број различитих мерних уређаја. Али без обзира на то колико су савршене технологије производње, све оне имају већу или мању грешку. Овај параметар је, по правилу, означен на самом инструменту, а да би се процијенила тачност одређених количина, мора се моћи разумјети који су бројеви означени на ознаци. Поред тога, релативна и апсолутна грешка неизбежно се јавља у сложеним математичким прорачунима. Широко се користи у статистици, индустрији (контрола квалитета) иу бројним другим областима. Како се ова вредност израчунава и како интерпретирати њену вредност - то је управо оно о чему се ради у овом чланку.

Абсолуте еррор

Нека је к приближна вредност било које вредности, добијена, на пример, једним мерењем, а к ₀ је њена тачна вредност. Сада израчунавамо модул разлике између ова два броја. Апсолутна грешка - то је управо оно што смо добили као резултат ове једноставне операције. У језику формула ова дефиниција се може написати у овом облику: к к = | к - к 0 |

Релативна грешка

Апсолутно одступање има један значајан недостатак - не дозвољава да се процени степен важности грешке. На пример, ми купујемо 5 кг кромпира на тржишту, а бескрупулозни продавац је направио 50 грама у своју корист када је мерио тежину. То јест, апсолутна грешка је била 50 грама. За нас, таква грешка ће бити ситница и нећемо чак ни обраћати пажњу на њу. И замислите шта ће се догодити ако дође до сличне грешке током припреме лека? Овде ће све бити много озбиљније. А приликом утовара теретног вагона сигурно су одступања много већа од ове вредности. Стога је апсолутна грешка сама по себи неинформативна. Поред тога, врло често се израчунава и додатна девијација, која је једнака односу апсолутне грешке на тачну вредност броја. Ово је написано следећом формулом: δ = Δ к / к ₀ .

Својства грешке

Претпоставимо да имамо две независне вредности: к и и. Потребно је израчунати одступање од приближне вриједности њихове суме. У овом случају апсолутну грешку можемо израчунати као суму претходно израчунатих апсолутних одступања сваке од њих. У неким мерењима може се десити да грешке у одређивању вредности к и и компензују једна другу. И може се десити да ће се као резултат додатка одступања повећати до максимума. Стога, када се израчуна укупна апсолутна грешка, треба узети у обзир најгору од свих опција. Исто важи и за разлику у грешкама неколико величина. Ово својство је карактеристично само за апсолутну грешку и не може се примијенити на релативна одступања, јер ће то неминовно довести до погрешног резултата. Размотрите ову ситуацију у следећем примеру.

Задатак

Претпоставимо да су мерења унутар цилиндра показала да је унутрашњи радијус (Р ₁ ) 97 мм, а спољашњи (Р ₂ ) 100 мм. Потребно је одредити дебљину зида. Прво, пронађите разлику: х = Р ₂ - Р ₁ = 3 мм. Ако задатак не указује на то која је апсолутна грешка једнака, онда се узима као половина поделе скале мерни уређај. Тако, Δ (Р2) = Δ (Р1) = 0,5 мм. Укупна апсолутна грешка је: Δ (х) = Δ (Р ₂ ) + Δ (Р ₁ ) = 1 мм. Сада израчунавамо релативну девијацију свих количина:

δ (Р1) = 0,5 / 100 = 0,005,

δ (Р ₁ ) = 0,5 / 97 ≈ 0,0052,

δ (х) = Δ (х) / х = 1/3 ≈ 0,3333 >> δ (Р ₁ ).

Као што видите, грешка мерења оба полупречника не прелази 5,2%, а грешка у израчунавању њихове разлике - дебљине зида цилиндра - износи чак 33, (3)%!

Слиједеће својство гласи: релативна девијација производа од неколико бројева је приближно једнака зброју релативних одступања појединачних фактора:

δ (ки) ≈ δ (к) + δ (и).

Штавише, ово правило је тачно без обзира на број процењених вредности. Трећа и последња особина релативне грешке је да је релативна процена к-тог броја снаге приближно у | к | времена релативне грешке оригиналног броја:

δ (х ^к ) ≈ | к | к δ (к).