Основни типови диференцијалних једначина првог реда

Нађите функцију ф неком датом зависношћу, која укључује саму функцију с аргументима и њеним дериватима. Овај тип проблема је релевантан у физици, хемији, економији, технологији и другим областима науке. Такве зависности се називају диференцијалне једначине. На пример, и '- 2ки = 2 је диференцијална једначина првог реда. Да видимо како се решавају ове врсте једначина.

Шта је ово?

Једначина која изгледа овако:

• ф (и, и ', ..., и ⁽¹⁰⁾ , и ⁽¹¹⁾ , ..., и ^(к) , к) = 0,

Назива се обични дифур и карактерише се као једначином реда к, а зависи од к и деривата и ', и' ', ... - до к-ог.

Вариетиес

У случају када функција која се налази у диференцијалној једначини зависи само од једног аргумента, тип диференцијалне једначине се назива обичним. Другим речима, у једначини функција ф и сви њени деривати зависе само од аргумента к.

Када тражена функција зависи од неколико различитих аргумената, једначине се називају парцијални диференцијални деривати. Генерално, изгледају као:

• ф (к, ф _к ', ..., и, ф _и ' ..., з, ..., ф _з '', ...),

где израз ф _к 'означава дериват функције у односу на аргумент к, а ф _з ' 'је двоструки дериват функције у односу на аргумент з, и тако даље.

Решење

Лако је погодити шта се тачно сматра решењем диференцијала. једначине. Ова функција, чија замена у једнаџби даје исти резултат на обе стране знака једнакости, назива се решењем. На пример, једначина т '' + а ² т = 0 има решење у облику т = 3Цос (ак) - Син (ак):

Извршивши поједностављење једначине 3, налазимо да т '' + а ² т = 0 за све вредности аргумента к. Међутим, треба одмах резервисати. Једнаџба т = 3Цос (ак) - Син (ак) није једино рјешење, већ само један од бесконачног скупа, који је описан формулом мЦос (ак) + нСин (ак), гдје су м и н произвољни бројеви.

Разлог за овај однос је дефиниција примитивне функције у интегралном рачуну: ако је К примитиван (тачније, један од многих) за функцију к, онда је к (к) дк = К (к) + Ц, где је Ц произвољна константа која се ресетује инверзна операција - узимање деривата функције К '(к).

Изостављамо дефиницију онога што је решење једначине к-тог реда. Није тешко замислити да што је већи редослед деривата, више константи настају у процесу интеграције. Такође би требало појаснити да дефиниција описана горе за решење није потпуна. Али за математичаре седамнаестог века било је довољно.

У наставку ћемо размотрити само главне типове диференцијалних једначина првог реда. Најосновније и најједноставније. Поред њих, постоје и друге разлике. једначине: хомогене, у пуним диференцијалима и Бернули. Али решење свега је често повезано са методом одвојивих варијабли, о чему ће бити речи у наставку.

Одвајање варијабли као решење

Ф = 0 - је дифф. једначина реда 1. Приликом решавања овог типа диференцијалних једначина, они се лако редукују на облик и '= ф. Тако је, на пример, једначина е ^{и '} - 1 - ки = 0 сведена на облик и' = лн (1 + ки). Операција редукције диференцијалне једначине на овај облик назива се њена резолуција у односу на дериват и '.

Након решавања једначине, потребно је да је доведете у диференцијални облик. То се постиже множењем свих делова једнакости са дк. Из и '= ф добијамо и'дк = фдк. С обзиром на чињеницу да је и'дк = ди, добијамо једначину у облику:

• ди = ф дк - који се назива диференцијални облик.

Очигледно, и '= ф (к) је најједноставнија диференцијална једначина првог реда. Решење се постиже једноставном интеграцијом. Сложенији облик је к (и) * и '= п (к), у којем је к (и) функција која зависи од и, а п (к) је функција која зависи од к. Након што смо га довели у диференцијални облик, добијамо:

• к (и) ди = п (к) дк

Лако је разумети зашто се једначина зове подељена: њена лева страна садржи само променљиву и, а десну само к. Оваква једначина се решава следећом теоремом: ако функција п има примитивни П, а к има К, тада ће дифурни интеграл бити К (и) = П (к) + Ц.

Реши једнаџбу з '(к) цтг (з) = 1 / к. Смањивши ову једначину на диференцијални облик: цтг (з) дз = дк / к; и узимајући интеграл оба дела гцтг (з) дз = дк / к; добијамо решење у општем облику: Ц + лн | син (з) | = лн | к |. Ради лепоте, ова једначина се може написати у другом облику помоћу правила логаритама, ако поставимо Ц = лн В - добијамо В | син (з) | = | к | или још једноставније, ВСин (з) = к.

Једначине форме ди / дк = к (и) п (к)

Раздвајање варијабли може се примијенити на једнаџбе облика и '= к (и) п (к). Потребно је само узети у обзир случај када к (и) за неки број нестаје. То јест, к (а) = 0. У овом случају, функција и = а је рјешење, јер за њу и '= 0, дакле, к (а) п (к) је такођер нула. За све остале вриједности, гдје к (и) није једнако 0, можемо написати диференцијални облик:

• п (к) дк = ди / к (и),

интегрисање, добијање заједничког решења.

Решите једначину С '= т ² (Са) (Сб). Очигледно, корени једначине су бројеви а и б. Дакле, С = а и С = б су решења ове једначине. За друге вредности С имамо диференцијални облик: дС / [(Са) (Сб)] = т ² дт. Одакле је лако добити заједнички интеграл.

Једначине форме Х (и) В (к) и '+ М (и) Ј (к) = 0

Решавањем ове врсте једначине за и 'добијамо: и' = - Ц (к) Д (и) / А (к) Б (и). Диференцијални облик ове једначине ће бити следећи:

• В (к) Х (и) ди + Ј (к) М (и) дк = 0

Да бисмо решили ову једначину, морамо узети у обзир нула случајева. Ако је а корен В (к), онда је к = а интеграл, јер из овога следи да дк = 0. Слично томе, у случају ако је б коријен М (и). Тада за опсег вредности к за које В и М не нестају, могуће је поделити варијабле дељењем са изразом В (к) М (и). Тада се израз може интегрирати.

Многи типови једначина, на које је на први поглед немогуће применити раздвајање променљивих, доказују се као такви. На пример, у тригонометрији, то се постиже идентичним трансформацијама. Такође је често прикладно имати неку духовиту супституцију, након чега ће бити могуће користити методу одвојених варијабли. Типови диференцијалних једначина првог реда могу изгледати веома различито.

Линеарне једначине

Једнако важан тип диференцијалних једначина, чије решење долази заменом и редуковањем на методу одвојених променљивих.

• К (к) и + П (к) и '= Р (к) - је једнаџба која је линеарна када се разматра у односу на функцију и њен дериват. П, К, Р - су континуиране функције.

За случајеве када П (к) није једнак 0, могуће је редуковати једначину на форму решену у односу на и ', делећи све делове са П (к).

• и '+ х (к) и = ј (к), у којем су х (к) и ј (к) односи функција К / П и Р / П.

Решење за линеарне једначине

Линеарна једначина се може назвати хомогена у случају када је ј (к) = 0, то јест, х (к) и + и '= 0. Таква једначинска јединица назива се хомогена и лако се раздваја: и' / и = -х (к). Интегришући га, добијамо: лн | и | = -Х (к) + лн (Ц). Где је изражено у облику и = Це- ^{Х (к)} .

На пример, з '= зЦос (к). Раздвајајући варијабле и редукујући једначину на диференцијални облик, затим интегришући, добијамо да ће опште решење имати израз и = Це ^{Син (к)} .

Неједнака је линеарна једначина у свом општем облику, тј. Ј (к) није једнака 0. Његово решење се састоји од неколико фаза. Прво треба да решите хомогену једначину. То јест, изједначити ј (к) са нулом. Нека је у једно од решења одговарајуће хомогене линеарне једначине. Тада се држи идентитет у '+ х (к) у = 0.

Извршите у и '+ х (к) и = ј (к) промену облика и = ув и гет (ув)' + х (к) ув = ј (к) или у'в + ув '+ х (к) ув = ј (к). Након што смо довели једнаџбу у форму у (у '+ х (к) у) + ув' = ј (к), можемо видјети да у првом дијелу у '+ х (к) у = 0. Гдје ћемо добити в' (к) = ј (к) / у (к). Одавде израчунавамо антидеривацију ∫в = В + С. После реверзне замене налазимо и = у (В + Ц), где је у решење хомогене једначине, а В примитивни однос ј / у.

Пронађите решење за једначину и'-2ки = 2, која се односи на тип диференцијалних једначина првог реда. Да бисте то урадили, прво одлучите хомогена једначина у '- 2ку = 0. Добијамо у = е ^2к + Ц. За једноставност, решење је постављено на Ц = 0, јер за решавање проблема потребно је само једно од решења, а не све врсте опција.

Затим замењујемо и = ву и добијамо в '(к) у + в (у' (к) - 2у (к) к) = 2. Тада: в '(к) е ^2к = 2, одакле в' (к) ) = 2е ^-2к . Тада је примитивни В (к) = -∫е -2к д (-2к) = - е ^-2к + Ц. Као резултат тога, опште решење за и '- 2ки = 2 је и = ув = (-1) (е ^2к + Ц) ^е2к = - 1 - ^Це2к .

Како одредити тип диференцијалне једначине? Да бисте то урадили, решите га у односу на дериват и погледајте да ли можете користити методу за раздвајање променљивих директно или заменом.