Диференцијална хомогена једначина: особине и решење

Анализирајмо једну од важних класа диференцијалних једначина које се решавају редуцирањем на методу одвајања варијабли супституцијом - хомогеном једначином. Ми ћемо се дотакнути метода рјешавања. линеарне једначине који се често бркају са хомогеним.

Хомогене једначине

За почетак, дајемо дефиницију. Ф је хомогена ако је тачно да је ф (кк, ки) = ф (к, и), где је к било које различито од нуле. Примери хомогене функције:

Да би потврдили њихову хомогеност, довољно је да аргументе функције Ф или А помножимо фактором и видимо да ли се он смањује.

Замена е (т) = ф (1, т)

Изнад је речено да се диференцијалне једначине са хомогеним функцијама редукују на одвојиве заменом. Да би ово објаснили, размотрите лему.

Лема 1. Ако је в хомогена функција првог степена са аргументима к и и, онда је идентитет в (к, и) = е (и / к) истинит, и е (т) = ф (1, т).

Ова лема се доказује на тривијалан начин: за ово једноставно морамо поставити к = 1 / к за све нуле к.

Примена замене решења и '= ф (к, и)

Претпоставимо да имамо и '= ф, где је ф хомогена функција. Да би се решила хомогена диференцијална једначина заснована на Леми 1, можемо представити и '= е (и / к). Једначина се може решити раздвајањем варијабли. Нека је и / к = в жељена функција. Дакле и = кв, и и '= в + кв'. Добијамо једначину облика в + кв '= е (в) или кв' = е (в) - в.

Размотрите детаљније. У овом случају, решења једначине су све вредности в = в _н - тачака на којима функција [е (в) - в] нестаје. Сходно томе, вредности и _н = в _н к - су решење и '= е (и / к). У домену вредности где [е (в) - в] не нестаје, може се применити раздвајање променљивих. То је:

Интегрисањем добијамо решење Е = лн | к | + Ц.

Напомена

Размотримо зашто горња замена функционише када се решавају хомогене диференцијалне једначине. Да бисте то урадили, узмите опште решење Е = лн | к | + Ц и замени к са кк и и са ки: Е = лн | кк | + Ц = лн (к) + лн | к | + Ц. С друге стране, израз лн (к) + Ц може се представити као В, а онда ће рјешење изгледати као Е = лн | к | + В.

Испоставља се да замена к са кк и и са ки доводи само до замене једног решења са другим, али из исте класе. Другим речима, друго решење такође задовољава оригиналну једначину. Описано својство на координатној равни назива се хомотеја, тј. Интегралне криве хомогених диференцијалних једначина претварају се једна у другу.

Пример 1

С обзиром на једнаџбу л ² + мл + м ² л '+ м ² = 0. Нађите њено рјешење. Неискусно око може журно закључити да ова једначина није хомогена, јер замена км уместо м и кн уместо н не даје оригиналну једначину. Погрешка у овом случају је да једначина претходно није решена у односу на дериват н '. Урадимо то.

У овом облику, лако је одредити да је једначина хомогена.

Прелазимо на решење заменом л / м = в. Добијамо л = вм и л '= мв' + в. Замените ове вредности у једначину:

Добијамо мв '= - (в + 1) ² . Очигледно, тачка -1 је 'њ решење једначине, а пре замене н = -м. Када в + 1 није једнак нули, поделите променљиве:

Из добијене једначине у диференцијалном облику лако се проналази заједнички интегрални:

Ми ћемо извршити замену за повратак:

Не треба заборавити ни претходно пронађено решење н = -м.

Линеарне диференцијалне једначине

Често су хомогене диференцијалне једначине помешане са линеарним. Ради комплетности, погледајмо и ову класу. Дакле, диференцијална једначина се назива линеарна, у којој су функција и њен дериват распоређени у линеарном односу, тј. Добијамо једнаџбу која има сљедећи облик:

• о (к) и '+ в (к) и = е (к);

в, о, е - представљају све функције.

Да би решили ову једначину за и ', потребно је размотрити све корене о (к). Претпоставимо да за неки број о (к ₀ ) = 0, онда је једно од решења описане једначине к ₀ , пошто добијамо о (к ₀ ) ди = 0 и дк = 0. Ово постаје очигледно ако запишемо диференцијални облик једначине множењем обе стране са дк: о (к) ди + в (к) идк = е (к) дк.

Уклањањем нултих вредности о (к), за преостале вредности к, напишите једначину у разрешеном облику, поделивши је на о (к).

Решавање линеарних диференцијалних једначина

У овој класи једначина постоје две опције. Први је када је слободни појам п (к) нула (хомогени), а други када је п (к) не-нула (нехомогена). Дакле, имамо следећа два случаја:

• и '+ р (к) и = 0 је хомогена једначина.
• и '+ р (к) и = п (к) је нехомогена једначина.

Хомогена је лако редуцирана на подељени облик и '/ и = -р (к) или ди / и = -р (к) дк. Након интеграције добијамо опште решење за хомогене једначине: и = Це ^{–р (к)} .

У општем случају, линеарна једначина (нехомогена) решава се у неколико фаза:

1. Прво, одговарајућа једначина је решена једнообразно: п (к) је конвенционално изједначена са 0. Претпоставимо да је у жељено решење, тј. Имамо у '+ р (к) у = 0. Запамтите тај идентитет.
2. У нехомогеној једначини уводимо супституцију и = ув, затим (ув) '+ (ув) р (к) = п (к). Након неких трансформација, имамо в (р (к) у + у ') + ув' = п (к). Позивајући се на идентитет из тачке 1, добијамо в'у = п (к). У овом случају, примитив се лако може наћи из в '= п / у.
3. Као резултат тога, нехомено рјешење се састоји од два дијела: у (Ц + В), у којима је у хомогено рјешење с нултом константом, а В је примитиван за п / у омјер.

Још једна конфузија хомогених једначина настаје када се разматрају хомогени системи једначина. Међутим, ово је друго питање чије разматрање је изван оквира овог чланка.

Примери

С обзиром на проблем. Потребно је пронаћи рјешење.

Очигледно, ова једначина је неједнака, па прво решавамо следећу једначину:

Треба напоменути да је једно од решења једначине и = 0. Проналажење општег решења одвија се кроз диференцијални облик, који вам омогућава да користите раздвајање променљивих:

Интеграција доводи до решења: лн | и | = А - лн (1 + т ² ) / 2. Представљајући А као лн Б, можете написати решење елегантније:

Решење нехомогене једначине могуће је извести у другом, на сличан начин, који се назива методом варијације константе, или Лагрангеовом методом. Теоретски га описујемо.

У диференцијалној једначини форме р (к) и + и '= п (к) мењајемо и = ц (к) е- ^{Р (к)} , при чему је Р (к) примитивни р (к), а са (к) - Непозната функција коју треба одредити.

Након свих трансформација, испада да је ц '(к) = е ^{Р (к)} ф (к). Одакле се (к) лако интегрише. Замењујући ц (к) назад у и = ц (к) е- ^{Р (к)} , добијамо и = е- ^{Р (к)} ц (к) + Де- ^{Р (к)} - опште решење једначине, где је Д константа , која се јавља када је ц (к) интегрисан.

Користећи Лагрангеов метод за наш проблем, постављамо:

Замењујући ову промену у оригиналну једначину, налазимо да је ц (т) = (1/2) т ² . Пишемо решење нехомогене једначине:

Размотрите други пример. Пронађите решења (к - 2ки - и ² ) ди + и ² дк = 0. Имајте на уму да је и = 0 једно од решења једначине. Користећи ову чињеницу, све делове једначине можемо поделити изразом и ² ди. После неких трансформација добијамо:

Треба напоменути да смо, изгледа, развили зависност. Зашто не? Кс и и функције су једнаке и зависе једна од друге. Сада не рјешавамо функцију и (к), већ к (и), а к ' _и није ништа друго него дериват функције к (и) у односу на варијаблу и. Или дк / ди. У овом облику, лако је одредити да се ради о нехомогеној једначини, тако да решавамо ову хомогену једначину овако:

Добијамо к = Ци ² е ^{1 / и} . Остаје само да се нађе решење оригиналне једначине варијационим методом, постављајући к = и ² ц (и) е ^{1 / и} . Након супституције ове супституције у једначини, имамо:

Одакле рачунамо да је ц (и) = е ^{-1 / и} + Д. Решење проблема ће бити следеће:

и = 0

к = и ² + Ди ² е ^{1 / и} .

Размотрили смо начине за решавање линеарних хомогених једначина.