Површина призме. Подручје базе и бочне површине. Основна површина троугластог призме

У просторној геометрији, када се решавају проблеми са призмама, често постоји проблем са израчунавањем површине страница или лица која формирају ове тродимензионалне облике. Овај чланак је посвећен питању одређивања површине подлоге призме и њене бочне површине.

Присм фигуре

Пре него што пређемо на разматрање формула за базну површину и површину призме једне или друге врсте, потребно је одредити која је то фигура у питању.

Призма у геометрији је просторна фигура која се састоји од два паралелна полигона, који су једнаки, и неколико четверокута или паралелограма. Број овог последњег је увек једнак броју врхова једног полигона. На пример, ако је фигура формирана са два паралелна н-гона, онда ће број паралелограма бити н.

Паралелограмски повезни н-гони називају се стране призме, а њихова укупна површина је површина бочне површине слике. Сами н-гони се називају базе.

Горња слика приказује примјер призме од папира. Жути правоугаоник је његова горња база. На другом истом терену стоји. Црвени и зелени правоугаоници су бочна лица.

Које призме постоје?

Постоји неколико врста призми. Сви се међусобно разликују само по два параметра:

• тип н-кута, који формира базу;
• угао између н-кута и бочних страна.

На пример, ако су базе троуглови, онда се призма назива троугласта, ако се четверокути, као у претходној слици, називају четверокутна призма, и тако даље. Поред тога, н-гон може бити конвексан или конкаван, а онда се ово својство додаје и називу призме.

Угао између бочних страна и базе може бити раван или оштар или туп. У првом случају говоре о правокутној призми, у другом - о нагнутој или косој.

У посебном типу фигура додељује се исправна призма. Они имају највећу симетрију међу осталим призмама. То ће бити тачно само ако је правоугаоно и његова база је правилан н-гон. На доњој слици је приказан низ исправних призми, у којима се број страна н-гоњака креће од три до осам.

Површина призме

Под површином разматраних фигура произвољног типа разуме се укупност свих тачака које припадају лицима призме. Површина призме је погодна за проучавање, с обзиром на њен развој. У наставку је приказан примјер такве измјере за трокутну призму.

Видљиво је да целу површину формирају два троугла и три правоугаоника.

У случају призме општег типа, њена површина ће се састојати од двије н-угљене базе и н четверокута.

Размотримо детаљније питање израчунавања површине призми различитих типова.

Основна површина призме је исправна

Можда је најједноставнији задатак када се ради са призмама проблем проналажења подручја базе тачне фигуре. Пошто је формиран н-гоном, у коме су сви углови и дужине страна једнаки, увек се може поделити на идентичне троуглове, у којима су познати углови и стране. Укупна површина троуглова ће бити подручје н-кута.

Други начин да се одреди део површине површине призме (база) је употреба познате формуле. Она има следећи облик:

С _н = н / 4 * а ² * цтг (пи / н)

То значи да је површина С _н н-кута јединствено одређена из спознаје о дужини његове стране а. Нека тешкоћа у израчунавању по формули може бити израчунавање котангенса, посебно када је н> 4 (за н≤4, котангенс вредности су табеларни подаци). Да би се утврдила ова тригонометријска функција, препоручује се употреба калкулатора.

Приликом формулисања геометријског проблема треба водити рачуна о томе, јер је можда потребно пронаћи подручје основе призме. Тада се вредност добијена формулом множи са два.

Основна површина троугластог призме

На примеру триангуларне призме разматрамо како да нађемо површину базе ове фигуре.

Прво размотрите једноставан случај - исправну призму. Површина базе се израчунава користећи формулу дату у претходном параграфу, у њу је потребно заменити н = 3. Добијамо:

С ₃ = 3/4 * а ² * цтг (пи / 3) = 3/4 * а ² * 1 / =3 = √ 3/4 * а ²

Остаје да се конкретне вредности дужине а стране једнакостраничног троугла замене изразом да би се добила површина једне базе.

Претпоставимо да постоји призма чија је база произвољни троугао. Две стране, а и б, и угао између њих, познати су. Ова слика је приказана испод.

Како у овом случају да нађемо подручје базе призме троугласто? Мора се имати на уму да је површина било ког троугла једнака половини производа стране, а висина спуштена на овој страни. На слици је приказана висина х са стране б. Дужина х одговара производу синуса угла алфа и дужини стране а. Тада је површина целог троугла једнака:

С = 1/2 * б * х = 1/2 * б * а * син (α)

То је подручје основе приказане трокутасте призме.

Сиде сурфаце

Одредили смо како да нађемо подручје базе призме. Бочна површина ове фигуре увијек се састоји од паралелограма. За директне призме паралелограми постају правоугаоници, тако да се њихова укупна површина може лако израчунати:

С = = _{и = 1} ^н (а _и * б)

Овде је б дужина бочне ивице, а _и је дужина стране и-тог правоугаоника, која се поклапа са дужином стране н-кута. У случају регуларне н-кутне призме, добијамо једноставан израз:

С = н * а * б

Ако је призма нагнута, онда одредите површину њене бочне површине, направите окомити рез, израчунајте њен периметар П _ср и помножите је дужином бочне ивице.

На горњој слици је приказано како направити овај кришку за косу пентагоналну призму.