Геометријска прогресија, њена примена у решавању проблема
Анциент индиан краљ је одлучио да великодушно награди изумитеља шаха: "Питај ме шта желиш за тако мудру игру." Скромни одговор изненадио је владара када је мудрац тражио житарице од пшенице онолико колико је могао да стане на 64 ћелије шаховске плоче. Рекао је: "Ставите 1 зрно на прву ћелију, 2 на другу, 4 на трећу, затим на 8, 16, 32, ...". Број зрна је морао да се дуплира сваки пут. 
Резултат бројања је запањио краља. Зрна су бројала 230,584,300,921,369 фунти. Испоставило се да је из ове серије бројева добијена геометријска прогресија. Сума њених чланова је толико велики да су житарице бројане много пута више од укупног глобалног усјева пшенице.
Редослед бројева
У њему се сваки следећи број, почевши од другог, добија множењем претходног са неким константним бројем к (цонст), који се назива именилац. Први број је 1 анд 0 и к Иоу 0. Можете га написати на следећи начин:
ин 1 ; в 2 = в 1 ; к; в 3 = в 2 ; к; ...; ин н = в н-1 . к.
У нашем примеру {ин н } бројеви расту веома брзо. Ово је растућа геометријска прогресија, пошто је позитивни именилац к ›1 и 1 › 0. Ако | к | ‹1, прогресија се смањује, са к‹ 0 - наизменично. Ево формуле за сваког члана такве секвенце:
ин н = ин 1. к н-1 .
Предложени проблем зрна решен је добро познатом формулом за суму н-првих чланова растуће геометријске прогресије
С = (а 1 -а п ) к) :( 1-к), под условом да је к. 1.
Да би се решили многи други проблеми, важно је знати карактеристичну особину прогресије. Сваки израз у квадрату (осим првог) једнак је производу термина који су једнако удаљени од њега,
у н 2 = у нк ∙ у н + к , где је 1 ≤ к ‹н, н ≥ 2.
Бесконачна геометријска прогресија
То је серија бројева док н тежи ∞. Пример би био низ квадрата квадрата који се добијају на следећи начин. Спајамо средње тачке страна ове јединице, а затим повезујемо и средишта страна новог квадрата, настављамо овај процес бескрајно {1, ½, ¼, 1/8, ...}. Први термин прогресије 1, називник ½. Опадајућа геометријска прогресија назива се бесконачном ако њен именилац припада отвореном сегменту (0, 1). Ако узмемо у обзир сегмент (-1, 1), онда морамо говорити о конвергентном и дивергирајућем низу бројева. Приликом решавања примењених проблема, корисно је знати једноставну формулу за суму чланова бесконачно опадајуће геометријске прогресије.
С = в 1 / (1-к).
Примери задатака који користе геометријску прогресију
- Напишите периодичну фракцију 0, (13) у облику рационалног броја (обична фракција).
Замислите децималну фракцију као суму:
0.131313 ... = 13/100 + 13/10000 + 13/1000000 + ...
Очигледно, у 1 = 13/100, израчунавамо к: 13/10000 и делимо са 13/100,
добијамо к = 1/100. Предложени износ је лако пронаћи по формули
С = (13/100) / (1- (1/100)) = (13/100) (100/99) = 13/99 - то је приказ децималног дела у облику обичног.
- У бескрајно опадајућој прогресији, познати су 2. појам а 2 = 21 и сума С = 112. Потребно је пронаћи његов први члан. Приликом решавања користимо формуле збира бесконачног геометријског и другог термина прогресије, добијамо систем од 2 једначине са две непознанице.
Прва једначина овог система је 112 = а 1 / (1-к), а 1 = 21 / к је друга.
Након што смо то решили, добијамо квадратна једначина у вези к.
112к2-112к + 21 = 0, поједноставити 16к2 -16к + 3 = 0.
Као резултат тога, 2 корена к 1 = ¾, к 2 = ¼. Први члан
а 1 = 21 / (3/4), а први термин а 1 = 21 / (1/4).
Наш задатак има 2 решења: а 1 = 28, и 1 = 84.
Закључак
Геометријска прогресија се широко користи у решавању многих проблема проналажења броја датог члана секвенце, његовог имениоца, под условом да два суседна члана нису специфицирана. Постоје интересантни проблеми у којима се чланови пишу у облику израза са варијаблама.