Полиноми Полиномна факторизација: методе, примјери

Концепти "полинома" и "декомпозиције полинома у факторе" у алгебри су веома чести, јер их је потребно познавати да би се лако изводиле калкулације са великим бројевима. Овај чланак ће описати неколико метода декомпозиције. Сви они су веома једноставни за употребу, само треба да изаберете прави за сваки конкретни случај.

Полиномиал цонцепт

Полином је сума мономала, тј. Израза који садрже само операцију множења.

На пример, 2 * к * и је мономијалан, али 2 * к * и + 25 је полином који се састоји од 2 мономијала: 2 * к * и и 25. Такви полиноми се називају двочланим полиномима.

Понекад због лакшег решавања примера са вишеструким вредностима, израз мора бити трансформисан, на пример, декомпонован на више фактора, тј. Бројева или израза између којих се врши акција множења. Постоји више начина да се полином разложи на факторе. Вриједи их размотрити од нај примитивнијих, који се користе у основној школи.

Груписање (писање уопште)

Формула за разлагање полинома у факторе у начину групирања у општој форми изгледа овако:

ац + бд + бц + ад = (ац + бц) + (ад + бд)

Неопходно је групирати мономијале тако да се у свакој групи појави заједнички фактор. У првој загради је фактор ц, ау другом је д. То се мора урадити да би се онда извукао из конзоле, чиме се поједностављују прорачуни.

Алгоритам декомпозиције за специфичан пример

Најједноставнији пример ширења полинома у факторе методом груписања дат је у наставку:

10ац + 14бц - 25а - 35б = (10ац - 25а) + (14бц - 35б)

У првој загради морате узети термине са множитељем а, који ће бити заједнички, а други са множитељем б. Обратите пажњу на знакове + и - у готовом изразу. Стављамо пред мономиал знак који је био у почетном изразу. То значи да не треба да радите са изразом 25а, већ са изразом -25. Знак минус чини се да је "залепљен" на израз иза њега и да га увијек узима у обзир приликом израчунавања.

Следећи корак је да узмете множитељ, који је чест, из заграде. То је оно за шта се груписање ради. Ставити из заграде значи написати испред заграда (без знака множења) све оне факторе који се тачно понављају у свим терминима који се налазе у загради. Ако заграда није 2, а 3 термини и више, заједнички фактор мора бити садржан у сваком од њих, иначе се не може извући из заграда.

У нашем случају - само 2 термина у заградама. Заједнички фактор је одмах видљив. У првој загради је, у другом - б. Овде морате обратити пажњу на дигиталне коефицијенте. У првој загради, оба коефицијента (10 и 25) су вишеструки од 5. То значи да из заграде може да се стави не само а, већ и 5а. Пре заграда, напишите 5а, а затим поделите сваки израз у загради према заједничком фактору који је изговорен, а такође унесите количник у заградама, не заборављајући знакове + и - радите и другу заграду, извадите 7б, као и 14 и 35 више од 7.

Дакле:

10ац + 14бц - 25а - 35б = (10ац - 25а) + (14бц - 35б) = 5а (2ц - 5) + 7б (2ц - 5).

Испало је 2 термина: 5а (2ц - 5) и 7б (2ц - 5). Свака од њих садржи заједнички фактор (цијели израз у заградама се овдје поклапа, што значи да је уобичајени фактор): 2ц - 5. Исто тако треба изнијети из заграде, то јест, термини у другој загради остају 5а и 7б:

5а (2ц - 5) + 7б (2ц - 5) = (2ц - 5) * (5а + 7б).

Дакле, потпуни израз:

10ац + 14бц - 25а - 35б = (10ац - 25а) + (14бц - 35б) = 5а (2ц - 5) + 7б (2ц - 5) = (2ц - 5) * (5а + 7б).

Дакле, полином 10ац + 14бц - 25а - 35б се разлаже на 2 фактора: (2ц - 5) и (5а + 7б). Знак множења између њих може се изоставити приликом писања.

Понекад постоје изрази овог типа: 5а ² + 50а ³ , овде можете узети не само а или 5а, већ чак и 5а ² . Увек треба да покушате да узмете највећи заједнички фактор из заграде. У нашем случају, ако сваки појам поделимо на заједнички фактор, испада:

5а ² / 5а ² = 1; 50а ³ / 5а ² = 10а (при рачунању квоцијента од неколико степени са једнаким базама, база се чува, а експонент се одузима). Дакле, јединица остаје у заградама (у сваком случају, не заборавите да напишете једну ако ставите један од додатака из заграде) и количник: 10а. Испоставља се да:

5а ² + 50а ³ = 5а ² (1 + 10а)

Квадратне формуле

Због практичности, изведено је неколико формула. Они се називају скраћене формуле множења и често се користе. Ове формуле помажу фактор полинома који садрже степене. Ово је још један ефикасан начин факторинга. Дакле, ево их:

• а ² + 2аб + б ² = (а + б) ² - формула која се назива "квадрат сума", јер као резултат декомпозиције на квадрат, сума бројева је затворена у заграде, тј. вредност ове суме се множи сама по себи 2 пута. , што значи да је мултипликатор.
• а ² + 2аб - б ² = (а - б) ^{2 -} формула квадрата разлике, она је слична претходној. Резултат је разлика, која се налази у заградама, која се налази у квадратној снази.
• а ² - б ² = (а + б) (а - б) је формула за разлику квадрата, пошто се оригинални полином састоји од 2 квадрата бројева или израза између којих се врши одузимање. Можда, од три наведена, најчешће се користи.

Примери израчунавања квадратне формуле

Прорачуни на њима су направљени сасвим једноставно. На пример:

1. 25к ² + 20ки + 4и ² - користите формулу "квадратна сума".
2. 25к ² ис квадратни израз 5к. Двадесети је двоструки производ 2 * (5к * 2и), а 4и ² је квадрат 2и.
3. Тако, 25к2 + 20ки + 4и2 = (5к + 2и) ² = (5к + 2и) (5к + 2у). Овај полином се декомпонује на 2 фактора (фактори су исти, стога се пише као израз квадратне снаге).

Акције које користе формулу квадратне разлике се раде на исти начин. Формула остаје разлика квадрата. Примери ове формуле су веома лако идентификовати и пронаћи међу осталим изразима. На пример:

• 25а ² - 400 = (5а - 20) (5а + 20). Пошто је 25а ² = (5а) ² , а 400 = 20 ²
• 36к ² - 25и ² = (6к - 5и) (6к + 5и). Од 36к ² = (6к) ² , и 25и ² = (5и2)
• ц ² - 169б ² = (ц - 13б) (ц + 13б). Пошто је 169б ² = (13б) ²

Важно је да сваки додатак буде квадрат израза. Тада је овај полином предмет факторизације по формули разлике квадрата. За ово није неопходно да други степен буде изнад броја. Постоје полиноми који садрже велике степене, али су и даље погодни за ове формуле.

а ⁸ + 10а ⁴ +25 = (а ⁴ ) ² + 2 * а ⁴ * 5 + 5 ² = (а ⁴ + 5) ²

У овом примеру, ⁸ може се представити као (а ⁴ ) ² , то јест, квадрат одређеног израза. 25 је 5 ² и 10а ⁴ је двоструки рад услови 2 * ⁴ * 5. То јест, овај израз, упркос присуству степени са великим експонатима, може се декомпоновати на два фактора да би се касније с њима радило.

Формула Цубес

Исте формуле постоје за факторе полинома који садрже коцке. Они су мало компликованији од оних са квадратима:

• а ³ + б ³ = (а + б) (а ² - аб + б ² ) - ова формула се назива сума коцки, јер је у почетној форми полином сума два израза или бројева затворена у коцки.
• а ³ - б ³ = (а - б) (а ² + аб + б ² ) - формула идентична претходној, означена као разлика коцака.
• а ³ + 3а ² б + 3аб ² + б ³ = (а + б) ^{3 је} коцка суме, као резултат калкулација, даје се сума бројева или израза, у заградама и помножена сама по себи 3 пута, тј. у коцки
• а ³ - 3а ² б + 3аб ² - б ³ = (а - б) ³ - формула направљена по аналогији са претходном са променом само неких знакова математичких операција (плус и минус) назива се "разлика коцка".

Последње две формуле практично се не користе за разлагање полинома у факторе, јер су комплексне, а ретко постоје полиноми који потпуно одговарају таквој структури тако да се могу проширити према овим формулама. Али још увијек их морате знати, јер ће бити потребни за акције у супротном смјеру - приликом отварања заграда.

Примери формуле коцке

Размотримо пример: 64а ³ - 8б ³ = (4а) ³ - (2б) ³ = (4а - 2б) ((4а) ² + 4а * 2б + (2б) ² ) = (4а - 2б) (16а ² + 8аб) + 4б ² ).

Овде су узети довољно прости бројеви стога можете одмах видјети да је 64а ³ (4а) ³ , а 8б ³ (2б) ³ . Дакле, овај полином се декомпонује помоћу разлике у форми коцки по 2 фактора. Акције на формули за суму коцки су направљене по аналогији.

Важно је разумети да нису сви полиноми подложни декомпозицији на барем једном од начина. Али постоје такви изрази који садрже већи степен од квадрата или коцке, али се могу и проширити у скраћене облике множења. На пример: к ¹² + 125и ³ = (к ⁴ ) ³ + (5и) ³ = (к ⁴ + 5и) * ((к ⁴ ) ² - к ⁴ * 5и + (5и) ² ) = (к ⁴ + 5и) к ⁸ - 5к ⁴ и + 25и ² ).

Овај пример садржи чак 12 степени. Али чак је и то могуће израчунати користећи формулу за суму коцки. Да би то урадили, к ¹² мора бити представљен као (к ⁴ ) ³ , то јест, као коцка неког израза. Сада, уместо у формули, потребно ју је заменити. Али израз 125и ³ је 5и коцка. Затим би требало да направите производ формуле и извршите калкулације.

У почетку, или у случају сумње, увек можете да урадите обрнуту проверу множења. Потребно је само да отворите заграде у резултујућем изразу и извршите акције са сличним изразима. Овај метод се примењује на све наведене методе редукције: како за рад са заједничким фактором и групирањем, тако и за радње које користе формуле коцки и квадратних степени.