Теорија вероватноће: формуле и примери решавања проблема

"Несреће нису случајне" ... Звучи као да је филозоф рекао, али у ствари, проучавање случајности је пуно велике науке математике. У математици, теорија вероватноће се бави случајношћу. У чланку ће бити представљене формуле и примери задатака, као и основне дефиниције ове науке.

Шта је теорија вероватноће?

Теорија вероватноће је једна од математичких дисциплина која проучава случајне догађаје.

Да би то било мало јасније, дајмо мали пример: ако баците новчић, може пасти са „орлом“ или „репом“. Док је новчић у зраку, обје ове вјероватноће су могуће. То јест, вјероватноћа могућих посљедица је 1: 1. Ако из шпила са 36 карата повучете једну, онда ће вероватноћа бити означена као 1:36. Чини се да нема шта истраживати и предвидјети, нарочито уз помоћ математичких формула. Међутим, ако поновите одређену радњу много пута, тада можете препознати одређену регуларност и на основу ње предвидети исход догађаја у другим условима.

Да сумирамо све горе наведено, теорија вероватноће у класичном смислу проучава могућност појаве једног од могућих догађаја у нумеричкој вредности.

Са страница историје

Теорија вероватноће, формуле и примери првих задатака појавили су се у далеком средњем веку, када је први пут покушано да се предвиди исход карташких игара.

У почетку, теорија вероватноће није имала ништа са математиком. Била је заснована на емпиријским чињеницама или својствима догађаја који би се могли репродуковати у пракси. Први радови у овој области, као у математичкој дисциплини, појавили су се у 17. веку. Блаисе Пасцал и Пиерре Фермат постали су претци. Дуго су проучавали коцкање и гледали одређене обрасце, које су одлучили да кажу друштву.

Цхристиан Хуигенс је измислио исту технику, иако није био упознат са резултатима Пасцала и Фермата. Он је увео концепт "теорије вјероватноће", формуле и примјере који се сматрају првима у повијести ове дисциплине.

Од малог значаја су радови Јакова Бернулија, Лапласова и Поиссонова теорема. Теорију вероватноће су учинили више као математичку дисциплину. Теорија вероватноће, формуле и примери основних задатака добили су свој данашњи облик захваљујући Колмогоровљевим аксиомима. Као резултат свих промена, теорија вероватноће је постала једна од математичких секција.

Основни појмови теорије вјероватноће. Догађаји

Главни концепт ове дисциплине је "догађај". Догађаји су три типа:

• Аутентична. Они који се дешавају у сваком случају (новчић ће пасти).
• Немогуће. Догађаји који се не дешавају ни по једном сценарију (новчић ће остати у зраку).
• Рандом. Они који се дешавају или неће. На њих могу утицати различити фактори које је тешко предвидети. Ако говоримо о новчићу, онда случајни фактори који могу утицати на резултат: физичке карактеристике новчића, његов облик, почетни положај, снага бацања итд.

Сви догађаји у примјерима означени су великим латиничним словима, с изнимком П, којој је додијељена другачија улога. На пример:

• А = "студенти су дошли на предавање."
• А = "студенти нису присуствовали предавању."

У практичним задацима, догађаји се обично записују ријечима.

Једна од најважнијих карактеристика догађаја је њихова једнака могућност. То јест, ако окренете новчић, могуће су све варијације првобитног пада док не падне. Али и догађаји нису једнако могући. То се дешава када неко посебно утиче на исход. На пример, "обележене" карте за игру или коцке, у којима се помера центар гравитације.

Више догађаја је компатибилно и неспојиво. Компатибилни догађаји се не искључују. На пример:

• А = "студент је дошао на предавање."
• Б = “ученик је дошао на предавање”.

Ови догађаји су независни једни од других, а појава једног од њих не утиче на изглед другог. Некомпатибилни догађаји су одређени чињеницом да изглед једног искључује појаву другог. Ако говоримо о истом новчићу, онда губитак "репа" онемогућава да се "орао" појави у истом експерименту.

Акције на догађаје

Догађаји се могу мултиплицирати и додати, односно, у дисциплини су уведени логички снопови "АНД" и "ОР".

Износ је одређен чињеницом да може постојати догађај А, или Б, или два у исто вријеме. У случају када су неспојиве, ова друга опција је немогућа, или ће А или Б испасти.

Множење догађаја се састоји од појављивања А и Б истовремено.

Сада можете дати неколико примјера како би боље запамтили основе, теорију вјеројатности и формуле. Примери решавања проблема испод.

Задатак 1 : Предузеће учествује у конкурсу за уговоре за три врсте послова. Могући догађаји:

• А = "фирма ће добити први уговор."
• ₁ = "фирма неће добити први уговор."
• Б = "фирма ће добити други уговор."
• У ₁ = "фирма неће добити други уговор"
• Ц = "фирма ће добити трећи уговор."
• Ц ₁ = "фирма неће добити трећи уговор."

Користећи акције о догађајима, покушавамо да изразимо следеће ситуације:

• К = "фирма ће добити све уговоре."

У математичкој форми, једначина ће имати следећи облик: К = АБЦ.

• М = "фирма неће добити ни један уговор."

М = А ₁ Б ₁ Ц ₁ .

Комплицирајте задатак: Х = "компанија ће добити један уговор." Пошто није познато какав ће уговор добити фирма (прва, друга или трећа), потребно је евидентирати читав низ могућих догађаја:

Х = А ₁ БЦ ₁ υ АБ ₁ Ц ₁ υ А ₁ Б ₁ Ц.

₁ БЦ ₁ је низ догађаја у којима фирма не добија први и трећи уговор, али прима други. У складу са тим се евидентирају и други могући догађаји. Симбол υ у дисциплини означава гомилу "ОР". Ако преведете дати пример у људски језик, онда ће фирма добити или трећи уговор, или други, или први. Слично томе, можете да забележите друге услове у дисциплини "Теорија вероватноће". Горе наведене формуле и примјери рјешавања проблема помоћи ће вам да то сами урадите.

Заправо, вероватноћа

Можда је у овој математичкој дисциплини вјероватноћа догађаја централни концепт. Постоје 3 дефиниције вероватноће:

• цлассиц
• статистички;
• геометриц.

Свако има своје место у проучавању вероватноће. Теорија вероватноће, формуле и примери (разред 9) углавном користе класичну дефиницију, која звучи овако:

• Вероватноћа ситуације А је једнака односу броја исхода, који погодује његовој појави, и броју могућих исхода.

Формула изгледа овако: П (А) = м / н.

П означава вјероватноћа догађаја А.

И - заправо, догађај. Ако постоји случај насупрот А, он се може записати као А или А ₁ .

м је број могућих повољних случајева.

н - сви догађаји који се могу појавити.

На пример, А = “извади картицу срца”. На стандардној палуби има 36 карата, од којих је 9 од срца. Према томе, формула за рјешавање задатка ће бити:

П (А) = 9/36 = 0,25.

Као резултат тога, вјероватноћа да ће картица из срца бити извучена са палубе ће бити 0,25.

За вишу математику

Сада је мало познато шта је теорија вјероватноће, формуле и примјери рјешавања задатака који се сусрећу у школском програму. Међутим, теорија вероватноће се налази у вишој математици, која се предаје на универзитетима. Најчешће се ради о геометријским и статистичким дефиницијама теорије и сложеним формулама.

Теорија вероватноће је веома интересантна. Формуле и примјери (виша математика) је боље почети учити из мале - са статистичком (или фреквентном) дефиницијом вјероватноће.

Статисти ~ ки приступ није у супротности са класи ~ ним, али га мало {ири. Ако је у првом случају било потребно одредити колико ће се вјероватно догодити неки догађај, онда је у овој методи потребно назначити колико често ће се то догодити. Овде уводимо нови концепт "релативне фреквенције", који се може означити са В _н (А). Формула се не разликује од класичне:

В _н (А) = м / н.

Ако се израчуна класична формула за предвиђање, онда је статистичка формула према резултатима експеримента. Узмимо, на пример, мали задатак.

Одељење за контролу процеса проверава производе за квалитет. Међу 100 производа пронађено 3 субстандард. Како пронаћи вјероватноћу учесталости квалитетног производа?

А = "настанак квалитетног производа."

В _н (А) = 97/100 = 0.97

Тако је учесталост квалитетне робе 0.97. Где су добили 97? Од 100 производа који су проверени, 3 су била лошег квалитета. Од 100 одузимамо 3, добијамо 97, то је количина квалитетног производа.

Мало о комбинаторици

Друга метода теорије вероватноће назива се комбинаторика. Његов основни принцип је да ако се одређени избор А може начинити на различите начине, а избор Б на различите начине, онда се избор А и Б може направити множењем.

На пример, од града А до града Б води 5 путева. Од града Б до града Ц води 4 начина. Колико начина можете добити од града А до града Ц?

Једноставно је: 5к4 = 20, дакле двадесет различитих начина на које можете доћи од тачке А до тачке Ц.

Хајде да компликујемо задатак. Колико је начина да се играју карте у пасијансу? У шпилу од 36 карата, ово је полазна тачка. Да бисте сазнали број метода, потребно је да „одузмете“ једну карту из почетне тачке и множите.

То јест, 36к35к34к33к32 ... к2к1 = резултат се не уклапа на екран калкулатора, тако да га можете једноставно означити 36 !. Знак “!” Поред броја означава да се цијели ред бројева множи заједно.

У комбинаторици постоје концепти као што су пермутација, положај и комбинација. Свака од њих има своју формулу.

Уређени скуп елемената скупа назива се распоред. Положаји се могу поновити, тј. Један елемент се може користити неколико пута. И без понављања, када се елементи не понављају. н су сви елементи, м су елементи који учествују у пласману. Формула за пласман без понављања ће бити:

А _н ^м = н! / (Нм)!

Једињења н елемената који се разликују само по реду распореда називају се пермутацијом. У математици има облик: П _н = н!

Комбинације н елемената м називају се таквим једињењима, у којима је важно шта су били и који је њихов укупан број. Формула ће бити:

А _н ^м = н! / М! (Нм)!

Берноуллијева формула

У теорији вјероватноће, као иу свакој дисциплини, постоје радови истакнутих истраживача у својој области, који су је довели на нови ниво. Један такав рад је Бернулијева формула, која омогућава да се одреди вероватноћа одређеног догађаја који се дешава у независним условима. Ово указује на то да изглед А у експерименту не зависи од појављивања или не појављивања истог догађаја у претходним или накнадним тестовима.

Берноуллијева једначина:

= C _n ^m ×p ^m ×q ^nm . П _н (м) = Ц _н ^м × п ^м × к ^нм .

Вјероватноћа (п) појаве догађаја (А) је непромијењена за свако испитивање. Вероватноћа да ће се ситуација догодити тачно м пута у броју експеримената ће се израчунати помоћу горе наведене формуле. Сходно томе, поставља се питање како пронаћи број к.

к = 1-п

Ако се догађај А појави п више пута, можда се не догоди. Јединица је број који се користи за означавање свих исхода неке ситуације у дисциплини. Према томе, к је број који указује на могућност непојављивања догађаја.

Сада знате Берноуллијеву формулу (теорија вероватноће). Примјери рјешавања проблема (први ниво) ће се даље разматрати.

Задатак 2: Посетилац трговине врши куповину са вероватноћом од 0.2. 6 посетилаца је ушло самостално у продавницу. Која је вероватноћа да ће посетилац обавити куповину?

Решење: Пошто није познато колико посетилаца треба да изврши куповину, једно или свих шест, неопходно је израчунати све могуће вероватноће користећи Бернулијеву формулу.

А = "посетилац ће направити куповину."

У овом случају: п = 0.2 (као што је назначено у задатку). Сходно томе, к = 1-0.2 = 0.8.

н = 6 (јер у продавници има 6 посетилаца). Број м ће варирати од 0 (купац не купује) до 6 (сви посјетиоци у продавници ће добити нешто). Као резултат тога, добијамо решење:

= C ₀ ⁶ ×p ⁰ ×q ⁶ =q ⁶ = (0,8) ⁶ П ₆ (0) = Ц ₀ ⁶ × п ⁰ × к ⁶ = к ⁶ = (0,8) ⁶ 0,2621. = 0.2621.

Нико од купаца неће извршити куповину са вероватноћом од 0.2621.

Како се другачије користи Берноуллијева формула (теорија вјероватноће)? Примери решавања проблема (други ниво) испод.

После горњег примера, постављају се питања о томе где су Ц и п отишли. У односу на п, број у степену 0 ће бити једнак једном. Што се тиче Ц, може се наћи по формули:

Ц _н ^м n! = н! m!(nm)! / м! (нм)!

Пошто је у првом примеру м = 0, Ц = 1, што у принципу не утиче на резултат. Користећи нову формулу, покушајмо да сазнамо која је вероватноћа куповине робе од стране два посетиоца.

= C ₆ ² ×p ² ×q ⁴ = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) ² П ₆ (2) = Ц ₆ ² × п ² × к ⁴ = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) ² (0,8) ⁴ × (0.8) ⁴ 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246. = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Теорија вероватноће није толико компликована. Бернуллијева формула, чији су примери представљени горе, је директан доказ за то.

Поиссонова формула

Поиссонова једначина се користи за израчунавање невероватних случајних ситуација.

Основна формула:

П _н (м) = λ ^м / м! e ^(-λ) . × е ^(-λ) .

У овом случају, λ = н к п. Ево једноставне Поиссонове формуле (теорија вероватноће). Примјери рјешавања проблема ће бити размотрени касније.

Задатак 3 : Фабрика је производила делове у износу од 100.000 комада. Појава дефектних делова = 0.0001. Која је вјероватноћа да ће странка имати 5 неисправних дијелова?

Као што видимо, брак је мало вероватан догађај и зато се за прорачун користи Поиссонова формула (теорија вероватноће). Примери решавања проблема ове врсте се не разликују од других задатака дисциплине, у горе наведеној формули замењујемо потребне податке:

А = "насумично одабрани део ће бити неисправан."

п = 0.0001 (према стању задатка).

н = 100.000 (број делова).

м = 5 (неисправни делови). Замените податке у формули и добићемо:

Р _100,000 (5) = 10 5/5! Ксе ^-10 = 0,0375.

Баш као Берноуллијева формула (теорија вероватноће), примери решења чија је помоћ написана горе, Поиссонова једначина има непознат е. У суштини, може се наћи по формули:

е- ^λ = лим _{н -> ∞} (1-λ / н) ^н .

Међутим, постоје посебне табеле у којима се налазе готово све е вриједности.

Теорема Моивард-Лапласа

Ако је у Бернулијевој схеми број тестова довољно велик, а вјероватноћа појаве догађаја А је иста у свим схемама, тада се вјеројатност појаве догађаја А одређени број пута у низу тестова може пронаћи користећи Лапласову формулу:

П _н (м) = 1 / пнпк к ϕ (Кс _м ).

Кс _м = м-нп / пнпк.

Да би боље запамтили Лапласову формулу (теорија вјероватноће), примјере проблема који ће вам помоћи.

Задатак 4: Рекламни агент дистрибуира 800 летака. Према статистичким истраживањима, сваки трећи летак проналази потрошача. Колика је вјероватноћа да ће точно 267 летача радити?

н = 800;

м = 267;

п = 1/3;

к = 2/3.

Прво налазимо Кс _м , замењујемо податке (сви су горе наведени) у формулу и добијамо 0.025. Користећи табеле, налазимо број 0.0 (0.025), чија је вредност 0.3988. Сада можете заменити све податке у формули:

П ₈₀₀ (267) = 1 / √ (800 к 1/3 к 2/3) к 0.3988 = 3/40 к 0.3988 = 0.03.

Значи вјероватноћа флиер ће радити тачно 267 пута, је 0.03.

Формула Баиес

Баиесова формула (теорија вероватноће), примери решавања задатака чија ће помоћ бити дата у даљем тексту, је једна једнаџба која описује вероватноћу догађаја, засновано на околностима које би могле бити повезане са њим. Основна формула је следећа:

Р (А | Б) = Р (В | А) х Р (А) / Р (В).

А и Б су одређени догађаји.

П (А | Б) је условна вероватноћа, тј. Догађај А може да се догоди под условом да је догађај Б истинит.

П (Б | А) - условна вероватноћа догађаја Б.

Дакле, завршни део малог курса "Теорија вероватноће" је Баиесова формула, примери решења проблема са којима доле.

Задатак 5 : У складиште су доведени телефони из три компаније. Истовремено, део телефона произведених у првој фабрици је 25%, на другом - 60%, на трећем - 15%. Такође је познато да је просечан проценат неисправних производа у првој фабрици 2%, у другом - 4%, ау трећем - 1%. Потребно је пронаћи вјероватноћу да ће насумично одабрани телефон бити неисправан.

А = "случајно узет телефон."

Б ₁ је телефон који је прва фабрика направила. Према томе, биће уводних Б2 и ₃ (за другу и трећу фабрику).

Као резултат тога, добијамо:

П (Б1) = 25% / 100% = 0.25; П (Б2) = 0,6; П (Б ₃ ) = 0,15 - тако смо пронашли вероватноћу сваке опције.

Сада је потребно да пронађете условне вероватноће жељеног догађаја, односно вероватноћу неисправних производа у фирмама:

П (А / Б ₁ ) = 2% / 100% = 0,02;

П (А / Б2) = 0,04;

П (А / Б3) = 0,01.

Сада ћемо заменити податке у Баиес-ову формулу и добити:

П (А) = 0,25 к 0,2 + 0,6 к 0,4 + 0,15 к 0,01 = 0,0305.

У раду је приказана теорија вероватноће, формуле и примери решавања проблема, али ово је само врх леденог брега опсежне дисциплине. И након свега што је написано, биће логично питати да ли је теорија вероватноће неопходна у животу. Обичној особи је тешко да одговори, боље је питати онога који је више пута прекинуо џекпот.