Висина пирамиде: дефиниција, формуле, калкулације

Једна од волуметријских фигура проучаваних током просторне геометрије је пирамида. Важна карактеристика ове фигуре је њена висина. У чланку ћемо дати дефиницију висине пирамиде и дати формуле кроз које је повезана са другим линеарним карактеристикама.

Шта је пирамида

Под пирамидом се разуме геометријски облик просторног, који се добија спајањем свих углова полигона са једном тачком у простору. На доњој слици приказан је распоред линија (ивица) четверокутних и петерокутних пирамида.

Полигонално лице облика назива се његова база. Тачка где се све троугласте стране повезују зове се врх. Да би се одредила висина пирамиде, важни су означени елементи.

Боди хеигхт

Висина пирамиде се назива окомица, која се са врха спушта на раван базе. Важно је разумети да је из сваке верте, која припада основици фигуре, такође могуће нацртати окомито на одговарајућу троугласту површину, али неће се појавити као висока. Висина пирамиде је једина окомита која је једна од важних линеарних карактеристика.

Свака ученица зна да свака равна фигура посједује геометријски центар (у физици одговара средишту масе). На пример, геометријски центар за произвољни троугао је одређен тачком пресека његових медијана, за паралелограм, тачку пресека дијагонала. Ако висина пирамиде пресијеца своју базу у геометријском центру, онда се та бројка назива правац. Пирамида је равна, има основни полигон са истим странама и угловима, који се назива исправним.

Горња слика показује разлику између погрешне пирамиде и исправне. Видљиво је да висина неправилног облика лежи изван њене базе, док је у правилној шестерокутној пирамиди висина унутар облика, пресијецајући своју базу у геометријском центру.

Важна својства свих регуларних пирамида су:

• све бочне стране су једнакокрачне троуглове и једнаке су једна другој;
• дужине бочних ребара и апотема су исте.

Формуле за висину регуларне пирамиде

Постоје четири основне линеарне карактеристике за било коју тачну пирамиду:

• страна базе;
• латерал едге;
• апотем бочне стране;
• висина фигуре.

Све су математички међусобно повезане. Дуљину стране базе означавамо а, висином - х, апотхем - х _б и едге - б. Формуле које вежу ове количине имају индивидуални изглед за одговарајућу пирамиду н-угља. На пример, за регуларну пирамиду, четвороугаона висина се може одредити формулама:

х = √ (а _б ² - а 2/4);

х = √ (б ² - а 2/2).

Ове формуле произилазе из Питагорине теореме када се разматрају одговарајући правоугаони троуглови унутар пирамиде.

Ако се узме у обзир фигура са троугластом базом, следеће формуле важе за висину регуларне пирамиде:

х = √ (а _б ² - а 2/12);

х = √ (б ² - а 2/3).

Решење проблема са шестерокутном пирамидом

Претпоставимо да имамо регуларну пирамиду са хексагоналном базом. Познато је да је висина подножја пирамиде 13 цм, с обзиром да је дужина бочне ивице 10 цм, потребно је израчунати волумен и висину правилне шестерокутне пирамиде.

Слика испод показује како изгледа правилан шестерокут.

Удаљеност између било које њене паралелне стране назива се висина. Није тешко показати да је та висина х _а повезана са дужином стране слике са следећом формулом:

х _а = а * √3

Замјењујући вриједност х _а у израз, налазимо да је основна страна а једнака 7,51 цм.

Висину х фигуре можемо одредити ако размотримо правоугаоник унутар пирамиде и који се састоји од две ноге (висина пирамиде и половина дијагонале шестерокутне базе) и хипотенуза (бочна ивица). Тада ће вредност х бити једнака:

х = √ (б ² - а ² ) = √ (100 - 56,4) = 6,6 цм.

Запремина пирамиде је дефинисана као трећи део продукта висине фигуре на површини њене базе. Површина правилног шестерокута је:

С ₆ = н / 4 * а ² * цтг (пи / н) = 6/4 * а ² * цтг (пи / 6) = 3 * /2 3/2 * а ² = 3 * /2 3/2 * 56, 4 ≈ 146,53 цм ² .

Формула за израчунавање С6 је универзална за произвољни регуларни н-гон.

Да би се одредио обим слике, остаје да се замене параметри који се налазе у одговарајућој формули:

В = 1/3 * х * С ₆ = 1/3 * 6.6 * 146.53 = 322.366 цм3.

Добили смо вредност висине пирамиде и израчунали њен волумен. Дакле, проблем је решен.