Шта је конус у геометрији? Дефиниција, формуле, узорак проблема

Познавање својстава геометријских фигура омогућава не само рјешавање теоријских проблема, већ и извођење различитих практично важних прорачуна. Једна од таквих фигура, чија ће својства бити разматрана у овом чланку, је конус. Шта је конус, које су то врсте, како пронаћи подручје и волумен? Сва ова питања су детаљно истакнута у наставку.

Општа дефиниција конуса у геометрији

Стереометрија, која проучава карактеристике фигура у тродимензионалном простору, нуди следећи одговор на питање шта је конус: то је фигура чија површина је формирана од стране низа правих сегмената који повезују одређену тачку у простору са одређеном кривуљом у равни.

Означена тачка простора назива се врхом конуса, равни сегменти су генерације фигуре или њених генератора, а сама кривуља на равни је дирецтрик.

Према горњој дефиницији, погодна је читава класа фигура, од којих су најпознатији округли, елиптични, параболични и хиперболички конуси. Елиптична фигура је приказана испод.

Директрикс овог конуса је затворена елипса која ограничава базу фигуре. Генерације свих конуса заједно формирају конусну површину, која се назива латерална. Ове двије површине (база и страна) ограничавају просторни волумен, који се обично назива волумен конуса.

Округли равни конус - број ротације

Елиптични конус приказан на горњој слици не може се добити као резултат ротације равне фигуре. Једини представник класе конуса, који се може формирати ротацијом, је округли равни конус. Ова слика је приказана испод.

Може се видети да његова база представља идеалан круг. Штавише, било који део бочне површине са равни која је паралелна са базом такође ће бити круг, али са мањим пречником од фигуре на бази.

Наранџасти троугао АБЦ, одабран унутар конуса, правоугаоног је облика. Може се видети да је његова нога АЦ базни радијус р. Нога АБ је висина слике х. По конструкцији, јасно је да је висина дужина окомице која је повучена од врха фигуре Б до равнине базе (круга). Ова висина пресијеца круг у његовом средишту. Ово последње значи да је конус раван. Коначно, хипотенуза троугла БЦ је ништа више од конусне генерације.

Да би се формирао конус помоћу описаног троугла, потребно га је ротирати око стране АБ.

За визуелни приказ разлике између равних и косих конуса приказујемо одговарајућу цифру.

Разлика између две цифре је очигледна: ако су њихове базе исте, онда се висине спуштају од врха преко база на различитим тачкама. Прва фигура је равна, друга је коса.

Линеарни параметри округлог равног конуса и угла у бази

Ови параметри су већ горе наведени. Поново их наведите:

• радиус р;
• хеигхт х;
• генератрик г.

Да би једнозначно дефинисали конус, ова три параметра су редундантна, тј. Дотична фигура се може конструисати и све њене особине се могу израчунати, знајући само два од три наведена параметра. Ослањајући се на разматрану схему за добијање конуса ротирајући правоугаони троугао, можемо написати следећу везу између генератора, радијуса и висине конуса:

г = √ (р² + х²).

Ова једнакост је очигледна и не захтева доказ (запамтите Питагорину теорему).

Конус можете подесити не само уз помоћ правих сегмената р, х и г, већ и помоћу угловне мере између било ког генератора облика и основне равни. Означите овај угао словом φ. Користећи дефиницију тригонометријских функција, можемо написати низ формула у којима се φ повезује линеарним параметрима. Пишемо главне:

г = х / син ();

г = р / цос (φ);

х = р * тг (φ).

Површина површине слике

С обзиром на питање шта је конус, представљамо формулу за одређивање површине њене пуне површине. Да би било јасније, о чему ће се дискутовати, скенирајћемо у раван дотичне фигуре.

Развој конуса на равни се састоји од две фигуре. Круг је база конуса, а кружни сектор радијуса г је бочна површина. Кружни сектор се лако добија ако узмете папирну коничну површину и исечете је дуж било које генеричке г. Ширећи ову површину, добијамо жељени сектор.

Одређивање површине С круг није проблем. Одговарајући израз је приказан испод:

С _о = пи * р².

Што се тиче кружног сектора, познати _{су му} и потребни параметри за израчунавање површине С _б : радијус г и дужина лука која одговара обиму горе наведеног круга. Формула за израчунавање површине бочне површине конуса С _б је:

С _б = пи * р * г.

Дакле, укупна површина фигуре је једнака:

С = С _о + С _б = пи * р * (р + г).

Формула за волумен

Знајући шта је конус раван, лако је написати формулу за њен волумен. Пошто се у питању може сматрати пирамида са бесконачним бројем бочних ивица, онда се за њу, као и за сваку пирамиду, може израчунати запремина по формули:

В = 1/3 * С _о * х.

Вредност квадрата С _о коју смо већ навели, дакле, тражена формула за запремину равног конуса са округлом базом биће следећа:

В = 1/3 * пи * р² * х.

Решавање геометријског проблема

Познато је да је површина површине конуса округлог правца 300 цм². Потребно је одредити полупречник конуса, знајући да је његова генерика 15 цм.

Пишемо једнакост за област и замењујемо вредност г = 15 цм и С = 300 цм², добијамо:

С = пи * р * (р + г) =>

300 = пи * р² + 15 * пи * р.

Поделимо леву и десну страну бројем пи, добијамо следећу квадратну једначину:

р² + 15 * р - 95.54 = 0.

Ми решавамо ову једначину кроз дискриминанту, добијамо:

Д = 15² - 4 * (- 95,54) = 607,16;

р = (-15 ± √Д) / 2 = (4.82; -19.82).

Негативни роот не одговара услову проблема, тако да можете написати одговор: задани конус има радијус од 4,82 цм.