Биномна дистрибуција: дефиниција, формула, примери

Теорија вероватноће је невидљиво присутна у нашим животима. Не обраћамо пажњу на то, али сваки догађај у нашем животу има одређену вероватноћу. Узимајући у обзир огроман број сценарија, неопходно је да одредимо највјероватније и најмање вјероватно од њих. Најкорисније је графички анализирати такве пробабилистичке податке. Дистрибуција нам може помоћи у томе. Биномни - један од најлакших и најпрецизнијих.

Пре него што се директно окренемо математици и теорији вероватноће, позабавимо се онима који су први дошли до ове врсте дистрибуције и каква је историја развоја математичког апарата за овај концепт.

Хистори оф

Појам вјероватноће познат је још од античких времена. Међутим, древни математичари јој нису придавали велики значај и могли су поставити само темеље за теорију, која је касније постала теорија вјероватноће. Створили су неке комбинаторне методе које су увелико помогле онима који су касније створили и развили саму теорију.

У другој половини КСВИИ века почело је формирање основних појмова и метода теорије вероватноће. Уведене су дефиниције случајних варијабли, методе за израчунавање вјероватноће једноставних и неких сложених независних и зависних догађаја. Такво интересовање за случајне варијабле и вјероватноће диктирало је коцкање: сви су хтјели знати какве су му шансе за побједу у игри.

Следећи корак био је примена метода у теорији вероватноће математичка анализа. Истакнути математичари, као што су Лаплас, Гаус, Поиссон и Берноулли, преузели су овај задатак. Они су ову област математике прешли на нови ниво. Управо је Јамес Берноулли открио закон о биномној дистрибуцији. Иначе, као што ћемо касније сазнати, на основу овог открића направљено је још неколико, што је омогућило стварање закона нормалне дистрибуције и још много тога.

Сада, пре него што почнемо да описујемо дистрибуцију биномног, мало ћемо освежити концепте теорије вероватноће, вероватно већ заборављене из школе.

Основе теорије вероватноће

Размотрићемо такве системе, као резултат којих су могућа само два исхода: "успјех" и "неуспјех". Ово је лако разумети са примером: бацамо новчић, претпостављајући да ће репови испасти. Вјероватноће сваког од могућих догађаја (репови испадају - "успјех", орао испадне - "није успјех") су 50 посто са савршеним балансирањем новчића и одсуством других фактора који могу утјецати на експеримент.

То је био најједноставнији догађај. Међутим, постоје и сложенији системи у којима се изводе секвенцијалне акције, а вјероватноће исхода ових акција ће се разликовати. На пример, размотрите такав систем: у кутији, чији садржај не можемо видети, налази се шест апсолутно идентичних лопти, три пара плаве, црвене и беле. Морамо насумце узети неколико лопти. Сходно томе, повлачењем једне од белих кугли прво ћемо смањити вероватноћу да ће и следећа добити белу куглу. То се дешава зато што се број објеката у систему мења.

У наредном одељку, размотрићемо сложеније математичке концепте који нас уско доводе до речи “нормална дистрибуција”, “биномна дистрибуција” и слично.

Елементи математичке статистике

У статистици, која је једна од области примене теорије вероватноће, постоји много примера где подаци за анализу нису дати експлицитно. То јест, не у нумеричком, већ у облику поделе према знацима, на пример, по полу. Да би се примијенили математички уређаји на такве податке и извучени закључци из добивених резултата, потребно је претворити изворне податке у нумерички формат. По правилу, да би се то постигло, позитивном исходу се додељује вредност 1, а негативном се додељује вредност 0. Тако добијамо статистичке податке који се могу анализирати математичким методама.

Следећи корак у разумевању шта је биномна расподела случајне променљиве је да се одреди варијанца случајне променљиве и математичко очекивање. О овоме се говори у наредном одељку.

Математичка очекивања

У ствари, лако је разумети шта је то очекивање. Размотримо систем у којем постоји много различитих догађаја са њиховим различитим вероватноћама. Математичко очекивање ће се звати вредност једнака збиру производа вредности ових догађаја (и математичког облика, о чему смо говорили у последњем делу) о вероватноћи њихове реализације.

Математичко очекивање биномне расподеле се израчунава према истој шеми: узимамо вредност случајне променљиве, помножимо је са вероватноћом позитивног исхода, а затим сумирамо податке добијене за све количине. Веома је згодно приказати ове податке графички - тако се боље уочава разлика између математичких очекивања различитих величина.

У следећем одељку ћемо вам рећи нешто о другом концепту - варијанци случајне променљиве. Такође је уско повезана са таквим концептом као што је биномна расподела вероватноће и његова је карактеристика.

Варијанца биномне дистрибуције

Ова вредност је уско повезана са претходном и карактерише дистрибуцију статистичких података. Он представља просечни квадрат одступања вредности од њиховог очекивања. То јест, варијанца случајне варијабле је сума квадрата разлика између вредности случајне променљиве и њеног очекивања, помножене са вероватноћом овог догађаја.

Уопштено, ово је све што треба да знамо о варијанси да би се разумело шта је биномна дистрибуција вероватноће. Сада ћемо се директно осврнути на нашу главну тему. Наиме, оно што се крије иза тако наизглед сложене фразе "биномни закон о дистрибуцији".

Биномна дистрибуција

Хајде да прво разумемо зашто је ова дистрибуција биномна. Она долази од речи "бин". Можда сте чули за Невтонов бином, формулу са којом можете разложити суму два произвољна броја а и б у било који не-негативни степен н.

Као што сте вероватно већ погодили, Невтонова биномна формула и биномна дистрибуцијска формула су скоро идентичне формуле. Једини изузетак је да друга има примењену вредност за одређене количине, а прва је само општа математичка алатка, чије примене у пракси могу бити различите.

Формула за дистрибуцију

Функција биномне расподеле може се записати као збир следећих чланова:

(н! / (нк)! к!) * п ^к * к ^нк

Овде је н број независних случајних експеримената, п је број успешних исхода, к је број неуспешних исхода, к је број експеримента (може узети вредности од 0 до н),! - ознака факторијала, таква функција броја, чија је вредност једнака производу свих бројева који га досежу (на пример, за број 4: 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24).

Поред тога, функција биномне расподеле може бити написана као непотпуна бета функција. Међутим, ово је сложенија дефиниција, која се користи само у решавању сложених статистичких проблема.

Биномна расподела, примери којих смо разматрали горе, је једна од најједноставнијих врста расподеле у теорији вероватноће. Постоји и нормална дистрибуција, која је тип биномног. Најчешће се користи, а најједноставније у калкулацијама. Ту је и Берноуллијева дистрибуција, Поиссонова дистрибуција, условна дистрибуција. Сви они графички описују вероватноће процеса у различитим условима.

У следећем одељку, размотрићемо аспекте везане за употребу овог математичког апарата у стварном животу. На први поглед, наравно, чини се да је ово још једна математичка ствар, која, као и обично, не проналази примјену у стварном животу, и уопће није потребна никоме осим самим математичарима. Међутим, ово је далеко од случаја. Уосталом, сви типови дистрибуције и њихови графички прикази су створени искључиво за практичне сврхе, а не као хир научника.

Апплицатион

Наравно, најважнија употреба дистрибуције налази се у статистици, јер им је потребна свеобухватна анализа скупа података. Као што пракса показује, веома велики број поља података има приближно исту расподелу вредности: критичне области веома ниских и веома високих вредности, по правилу садрже мање елемената од просечних вредности.

Анализа великих количина података није потребна само у статистици. Неопходна је, на пример, у физичкој хемији. У овој науци, она се користи за одређивање многих величина које су повезане са случајним осцилацијама и кретањима атома и молекула.

У следећем одељку, да видимо колико је важна употреба таквих статистичких концепата као биномна расподела случајне променљиве у свакодневном животу за вас и мене.

Зашто ми је то потребно?

Многи људи постављају ово питање када је у питању математика. И успут, математика се не назива краљицом науке. Она је основа физике, хемије, биологије, економије, иу свакој од ових наука примењује се и нека дистрибуција: да ли ова дискретна биномна расподела, или нормална, није важна. И ако боље погледамо свет око нас, видећемо да се математика користи свуда: у свакодневном животу, на послу, па чак и људским односима могу се представити као статистички подаци и анализирати (успут, они који раде у посебне организације које прикупљају информације).

Хајде да мало причамо о томе шта да радимо ако треба да знате више о овој теми него о чему смо говорили у овом чланку.

Шта још можете прочитати?

Информације које смо дали у овом чланку су далеко од завршене. Постоји много нијанси у вези са оним што облик дистрибуције може узети. Биномна расподела, као што смо већ сазнали, је један од главних типова на којима се заснива сва математичка статистика и теорија вероватноће.

Ако вам је то постало занимљиво, или у вези с вашим радом, морате знати много више о овој теми, требат ћете студирати стручну литературу. Требало би да почнемо са универзитетским курсом математичке анализе и одемо до одељка теорије вероватноће. Такође ће бити корисно знање у пољу серије, јер је биномна расподела вероватноће само низ узастопних чланова.

Закључак

Пре него што завршимо чланак, желели бисмо да испричамо још једну занимљиву ствар. То се директно односи на тему нашег чланка и целокупну математику.

Многи људи кажу да је математика бескорисна наука, и ништа што су прошли у школи није им добро дошло. Али знање никада није сувишно, и ако вам нешто није корисно у животу, то значи да га се једноставно не сећате. Ако имате знање, они вам могу помоћи, али ако их нема, онда нема потребе чекати помоћ од њих.

Дакле, погледали смо концепт биномне дистрибуције и све сродне дефиниције и говорили о томе како се то односи на наш живот.