Пронађите обим троугла на различите начине.
Периметар било ког троугла је дужина линије која ограничава облик. Да бисте је израчунали, морате знати збир свих страна овог полигона.
Израчун са ових дужина стране
Када је њихово значење познато, то је лако учинити. Означавајући ове параметре словима м, н, к и периметром словом П, добијамо формулу за израчун: П = м + н + к. Задатак: Познато је да троугао има странице дужине 13,5 дециметара, 12,1 дециметара и 4,2 дециметра. Нађи периметар. Решавамо: Ако су стране датог полигона а = 13,5 дм, б = 12,1 дм, ц = 4,2 дм, тада је П = 29,8 дм. Одговор: П = 29.8 дм.
Периметар троугла који има две једнаке стране
Такав троугао се назива једнакокрачан. Ако су те једнаке стране дугачке један центиметар, а трећа страна б центиметра дуга, онда се периметар лако препознаје: П = б + 2а. Задатак: троугао има две стране од 10 дециметара, а основа је 12 дециметара. Нађи П. Решење: Нека страна а = ц = 10 дм, база б = 12 дм. Сума страна је П = 10 дм + 12 дм + 10 дм = 32 дм. Одговор: П = 32 дециметра.
Периметар једнакостраничног троугла
Ако све три стране троугла имају једнак број јединица, то се зове једнакостран. Друго име је тачно. Периметар регуларног троугла се налази помоћу формуле: П = а + а + а = 3 · а. Задатак: Имамо једнакостраничну троугласту парцелу. Једна страна је 6 метара. Нађите дужину ограде која може обухватити ово подручје. Решење: Ако је страна овог полигона а = 6м, онда је дужина ограде П = 3,6 = 18 (м). Одговор: П = 18 м.
Троугао који има кут од 90 °
Назива се правоугаоник. Присуство правог угла омогућава да се пронађу непознате стране користећи дефиницију тригонометријских функција и Питагорина теорема. Најдужа страна се назива хипотенуза и означена је ц. Постоје још две стране, а и б. Следећи теорему која носи назив Питагора, имамо ц 2 = а 2 + б 2 . Ноге су а = √ (ц 2 - б 2 ) и б = √ (ц 2 - а 2 ). Знајући дужину две ноге а и б, израчунамо хипотенузу. Затим налазимо суму страна фигуре, додајући ове вредности. Куест: Цатета правоугаони троугао дужине су 8,3 цм и 6,2 цм. Потребно је израчунати обим троугла. Решавамо: Означавамо ноге = 8,3 цм, б = 6,2 цм.У складу са Питагорином теоремом, хипотенуза је ц = √ (8.3 2 + 6.2 2 ) = √ (68.89 + 38.44) = 7107 , 33 = 10,4 (цм). П = 24,9 (цм). Или П = 8.3 + 6.2 + √ (8.3 2 + 6.2 2 ) = 24.9 (цм). Одговор: П = 24.9 цм, а вредности корена су узете до десетог. Ако знамо вредности хипотенузе и ногу, тада се вредност П добија израчунавањем П = √ (ц 2 - б 2 ) + б + ц. Задатак 2: Комад земље, који се налази насупрот угла од 90 степени, 12 км, једна од ногу је 8 км. Колико времена можете да идете око целог подручја, ако се крећете брзином од 4 километра на сат? Решење: ако је највећи сегмент 12 км, мање од б = 8 км, онда ће дужина целог пута бити П = 8 + 12 + √ (12 2 - 8 2 ) = 20 + =80 = 20 + 8.9 = 28.9 ( км). Пронаћићемо време дељењем пута брзином. 28.9: 4 = 7.225 (х). Одговор: можете се кретати око 7,3 сати квадратни корени а одговор ћемо узети до десетине. Можете пронаћи суму страна правоугаоног троугла ако је дата једна од страна и вредност једног од оштрих углова. Знајући дужину ноге б и вредност супротног угла β, налазимо непознату страну а = б / тг β. Пронађите хипотенузу ц = а: синα. Периметар такве цифре се налази додавањем добијених вредности. П = а + а / синα + а / тг α, или П = а (1 / син α + 1 + 1 / тг α). Задатак: У правокутном Δ АВС са правим углом Ц, ноге Сунца су дугачке 10 м, а угао А је 29 степени. Потребно је пронаћи суму страна Δ АВС. Решење: Означава познату ногу БЦ = а = 10 м, угао који лежи насупрот њему, =А = α = 30 °, затим нож АЦ = б = 10: 0.58 = 17.2 (м), хипотенуза АБ = ц = 10: 0,5 = 20 (м). П = 10 + 17,2 + 20 = 47,2 (м). Или П = 10 · (1 + 1.72 + 2) = 47.2 м. Имамо: П = 47.2 м. Узмемо вредност тригонометријских функција са тачношћу од стотинке, дужина страница и обод се заокружују на десетину. Имајући вредност ногу α и суседног угла β, утврђујемо шта је друга нога једнака: б = а тан β. Хипотенуза ће у овом случају бити једнака нози подељеној са косинусом угла β. Периметар је познат по формули П = а + а тг β + а: цос β = (тг β + 1 + 1: цос β) · а. Задатак: Нога троугла са углом од 90 степени 18 цм, суседни угао је 40 степени. Пронађи П. Решење: Означавамо познату ногу БЦ = 18 цм, =β = 40 °. Тада је непозната нога АЦ = б = 18 · 0.83 = 14.9 (цм), хипотенуза АБ = ц = 18: 0.77 = 23.4 (цм). Сума страна фигуре је једнака Р = 56,3 (цм). Или П = (1 + 1,3 + 0,83) * 18 = 56,3 цм. Одговор: П = 56,3 цм. Ако је позната дужина хипотенузе ц и било који кут α, ноге ће бити једнаке производу хипотенузе за први - на синусу, а други - на косинус овог угла. Периметар ове цифре је П = (син α + 1 + цос α) * ц. Задатак: Хипотенуза правог троугла АБ = 9,1 цм, и угао од 50 степени. Пронађите суму страна ове фигуре. Решење: Означимо хипотенузу: АБ = ц = 9,1 цм, =А = α = 50 °, онда једна од ногу БЦ има дужину а = 9,1 · 0,77 = 7 (цм), АЦХ = б = 9 1, 0.64 = 5.8 (цм). Дакле, периметар овог полигона је П = 9.1 + 7 + 5.8 = 21.9 (цм). Или П = 9,1 · (1 + 0,77 + 0,64) = 21,9 (цм). Одговор: П = 21.9 центиметара.
Произвољни троугао, чија је једна страна непозната
Ако имамо вредности две стране а и ц, а угао између ових страна је γ, налазимо трећу косинусну теорему: б 2 = с 2 + а 2 - 2 ас цос β, где је β угао између страна а и ц. Онда ћемо наћи периметар. Задатак: Δ АВС има сегмент АБ дужине 15 дм, сегмент АУ чија је дужина 30,5 дм. Угао између ових страна је 35 степени. Израчунајте суму страна Δ АБЦ. Решење: Цосине тхеорем израчунајте дужину треће стране. БЦ 2 = 30,5 2 + 15 2 - 2 · 30,5 · 15 · 0,82 = 930,25 + 225 - 750,3 = 404,95. БЦ = 20.1 цм П = 30.5 + 15 + 20.1 = 65.6 (дм) Имамо: П = 65.6 дм.
Зброј страна произвољног троугла чије су дужине две стране непознате
Када знамо дужину само једног сегмента и вредност два угла, можемо да сазнамо дужину две непознате стране, користећи синусну теорему: "у троуглу стране су увек пропорционалне синусним вредностима супротних углова". Где б = (а * син β) / син а. Слично томе, ц = (син γ): син а. Периметар у овом случају ће бити П = а + (син β) / син а + (син γ) / син а. Задатак: Имамо Δ АБЦ. У њој је дужина стране БЦ 8,5 мм, угао Ц је 47 °, а угао Б 35 степени. Пронађите суму страна ове фигуре. Решење: Означити дужине страница БЦ = а = 8.5 мм, АЦ = б, АБ = ц, = А = α = 47 °, =Б = β = 35 °, = Ц = γ = 180 ° - (47 ° + 35 °) = 180 ° - 82 ° = 98 °. Из односа изведених из синусне теореме налазимо ноге АЦ = б = (8.5 · 0.57): 0.73 = 6.7 (мм), АБ = ц = (7 · 0.99): 0.73 = 9,5 (мм). Стога је сума страна овог полигона П = 8,5 мм + 5,5 мм + 9,5 мм = 23,5 мм. Одговор: П = 23,5 мм. У случају када постоји само дужина једног сегмента и вредности два суседна угла, прво израчунамо угао који је супротан познатој страни. Сви углови ове фигуре имају укупно 180 степени. Дакле, ∟А = 180 ° - (+Б + )Ц). Затим проналазимо непознате сегменте користећи сине теорему. Задатак: Имамо Δ АБЦ. Она има сегмент БЦ једнак 10 цм, угао Б 48 степени, угао Ц 56 степени. Нађи суму страна Δ абц. Решење: Прво, пронађите вредност угла А, насупрот страни БЦ. =А = 180 ° - (48 ° + 56 °) = 76 °. Сада са теорем сине, израчунајмо дужину стране АЦ = 10,70: 0,97 = 7,6 (цм). АБ = БЦ * син Ц / син А = 8.6. Обим троугла је П = 10 + 8.6 + 7.6 = 26.2 (цм). Резултат: П = 26,2 цм.
Израчунавање обима троугла помоћу радијуса кружнице уписане у њега
Понекад није познат ниједан услов проблема. Али постоји вредност троугао и радијус круга уписаног у њега. Ове вредности су повезане: С = р п. Знајући вредност површине троугла, радијус р, можемо наћи полупериметар п. Нађи п = С: р. Задатак: Парцела има површину од 24 м 2 , полупречник р је 3 м. Нађите број дрвећа које треба равномјерно посадити дуж линије која окружује овај дио ако је раздаљина од два метра између два сусједна. Решење: Сума страна ове цифре је нађена на следећи начин: П = 2 · 24: 3 = 16 (м). Онда поделите са два. 16: 2 = 8. Укупно: 8 стабала.
Збир страна троугла у картезијанским координатама
Вертицес Δ АВС имају координате: А (к 1 ; и 1 ), Б (к 2 ; и 2 ), Ц (к 3 ; и 3 ). Нађите квадрате сваке стране АБ 2 = (к 1 - к 2 ) 2 + (и 1 - и 2 ) 2 ; БЦ 2 = (к 2 - к 3 ) 2 + (и 2 - и 3 ) 2 ; АЦ 2 = (к 1 - к 3 ) 2 + (и 1 - и 3 ) 2 . Да бисте пронашли периметар, довољно је додати све сегменте. Задатак: Вертек координате АБ АБЦ: Б (3; 0), А (1; -3), Ц (2; 5). Пронађите суму страна ове фигуре. Решење: стављањем вредности одговарајућих координата у периметарску формулу, добијамо П = √ (4 + 9) + √ (1 + 25) + √ (1 + 64) = +13 + √26 + √65 = 3.6 + 5.1 + 8.0 = 16.6. Имамо: П = 16.6. Ако се број не налази у равни, већ у простору, онда свака од вертикала има три координате. Дакле, сума странака ће имати још један мандат.
Вецтор метход
Ако је облик дат координатама врхова, периметар се може израчунати помоћу векторске методе. Вектор је сегмент који има правац. Његов модул (дужина) означен је симболом. Удаљеност између тачака је дужина одговарајућег вектора или модул вектора. Размотрите троугао који лежи на равни. Ако врхови имају координате А (к 1 ; и 1 ), М (к 2 ; и 2 ), Т (к 3 ; и 3 ), онда се дужина сваке стране налази по формулама: АМ = √ ((к 1 - к 2) ) 2 + (и 1 - и 2 ) 2 ), ǀМТǀ = √ ((к 2 - к 3 ) 2 + (и 2 - и 3 ) 2 ), ǀАТǀ = √ ((к 1 - к 3 ) 2 + ( 1 - 3 ) 2 ). Периметар троугла се добија додавањем дужина вектора. Слично томе, пронађите суму страна троугла у простору.