Како израчунати волумен различитих геометријских тијела?

У току стереометрије једно од главних питања је како израчунати волумен одређеног геометријског тијела. Све почиње једноставним паралелопипедом и завршава се лоптом.

И у животу често се морају носити са сличним проблемима. На пример, за израчунавање запремине воде која се ставља у канту или буре.

Својства поштена према волумену сваког тијела

1. Ова вредност је увек позитиван број.
2. Ако се тело може поделити на делове тако да нема пресека, онда је укупна запремина једнака збиру запремина делова.
3. Једнака тела имају исту запремину.
4. Ако се мање тело потпуно уклопи у већу, онда је волумен првог мањи од другог.

Општа ознака за сва тела

У свакој од њих постоје ивице и базе, у којима се граде висине. Дакле, такви елементи за њих су једнако обележени. Тако се пишу у формулама. Како израчунати обим сваког тела - научит ћемо даље и примијенити нове вјештине у пракси.

Неке формуле имају друге вредности. Њихово именовање ће се разматрати када се појави таква потреба.

Призма, паралелопипед (равна и коса) и коцка

Ова тела су комбинована зато што изгледају веома слично, а формуле за израчунавање волумена су идентичне:

В = С ₀ * х.

Само С ₀ ће се разликовати. У случају паралелепипеда, израчунава се као за правоугаоник или квадрат. У призми, база може бити троугао, паралелограм, произвољни четвороугао или други полигон.

За коцку је формула знатно поједностављена, јер су све њене димензије једнаке:

В = а ³ .

Пирамида, тетраедар, крња пирамида

За прво од ових тела постоји једна формула за израчунавање запремине:

В = 1/3 * С ₀ * н.

Тетраедар је посебан случај троугластих пирамида. Све ивице су једнаке. Дакле, поново добијамо поједностављену формулу:

В = (а ³ * )2) / 12, или В = _^1/3 С ₀ х

Скраћена пирамида постаје када је њен горњи део одсечен. Према томе, његова запремина је једнака разлици између две пирамиде: она која би била неоштећена и удаљени врх. Ако је могуће сазнати обје базе такве пирамиде (С ₁ је већа и С ₂ је мања), онда је погодно користити ову формулу за израчунавање волумена:

В = 1/3 * х * (С ₁ + √ (С ₁ С ₂ ) + С ₂ ).

Цилиндар, конус и крњи конус

Ако желите да израчунате запремина цилиндра Можете користити формулу која је специфицирана за призму. Понекад је погодно да се напише у овом облику:

В = π * р ² * х.

Ситуација са конусом је нешто компликованија. За њега постоји формула:

В = 1/3 π * р ² * х. Веома је сличан оном који је наведен за цилиндар, само је вредност смањена три пута.

Као и са скраћеном пирамидом, ситуација није лака са конусом који има две базе. Формула за израчунавање волумена скраћеног конуса је следећа:

В = 1/3 π * х * (р ₁ ² + р ₁ р ₂ + р ₂ ² ). Овде је р ₁ полупречник доње базе, р ₂ је горњи (мањи).

Балл, сегменти лопте и сектор

Ове формуле су најтеже запамтити. Фор балл волуме изгледа овако:

В = 4/3 π * р ³ .

У проблемима се често поставља питање како израчунати запремину сферног сегмента - дио кугле, која је, како је било, изрезана паралелно промјеру. У овом случају, спашава се следећа формула:

В = π х ² * (р - х / 3). У њему, за х, узима се висина сегмента, то јест, дио који иде дуж радијуса лопте.

Сектор је подељен на два дела: конус и сегмент лопте. Према томе, његов обим је дефинисан као збир ових тела. Формула након трансформације изгледа овако:

В = 2/3 πр ² * х. Овде је х такође висина сегмента.

Примери задатака

Про волумена цилиндра, лопте и конуса

Стање: пречник цилиндра (1 тело) једнак је његовој висини, пречнику кугле (2 тела) и висини конуса (3 тела); проверити пропорционалност запремина В ₁ : В ₂ : В ₃ = 3: 2: 1

Одлука. Прво, морате написати три формуле за волумене. Затим узмите у обзир да је полупречник пола пречника. То значи да ће висина бити једнака два полупречника: х = 2р. Направивши једноставну замену, испада да ће формуле за волумене изгледати овако:

В ₁ = 2 π р ³ ; В ₃ = 2/3 π р ³ . Формула за волумен лопте се не мења, јер се висина не појављује у њој.

Сада остаје да се напишу односи запремине и изврши редукција 2π и р3 Показало се да В ₁ : В ₂ : В ₃ = 1: 2/3: 1/3. Ови бројеви лако воде до записа 3: 2: 1.

Одговор је. В ₁ : В ₂ : В ₃ = 3: 2: 1.

О обиму лопте

Стање: постоје двије лубенице радијуса од 15 и 20 цм; Који је најповољнији начин да их поједете: прва четири или друга од друге?

Одлука. Да бисте одговорили на ово питање, морате пронаћи однос количина комада које ћете добити од сваке лубенице. Узимајући у обзир да су то лоптице, потребно је записати двије формуле за волумене. Затим узмите у обзир да ће од првог добити само четврти дио, а од другог - осми.

Остаје да се забележи однос запремина делова. Изгледаће овако:

(В ₁ : 4) / (В ₂ : 8) = (1/3 π р ₁ ³ ) / (1/6 π р ₂ ³ ). После конверзије остаје само фракција: (2 р ₁ ³ ) / р ₂ ³ . Након замене вредности и прорачуна, добијена је фракција 6750/8000. Из ње је јасно да ће дио из прве лубенице бити мањи него из другог.

Одговор је. Исплативије је јести осми дио лубенице у радијусу од 20 цм.

О запремини пирамиде и коцке

Стање: постоји пирамида од глине са правоугаоном основицом 8к9 цм и висином од 9 цм; направили су коцку из истог комада глине; Каква је његова ивица?

Одлука. Ако означимо стране правоугаоника са словима уи са, онда се површина базе пирамиде рачуна као њихов производ. Затим формула за њен обим:

В ₁ = 1/3 * сун * х.

Формула за волумен коцке је написана у горњем чланку. Ове две вредности су једнаке: В ₁ = В ₂ . Остаје да се изједначе десне стране формула и изврше неопходни прорачуни. Испоставља се да ће ивица коцке бити једнака 6 цм.

Одговор је. а = 6 цм

О волумену паралелепипеда

Стање: потребно је израдити кутију капацитета 0,96 м ³ , познату ширину и дужину - 1,2 и 0,8 метара; Која би требала бити његова висина?

Одлука. Пошто је основа паралелепипеда правоугаоник, његова површина је дефинисана као производ дужине (а) и ширине (ц). Зато формула за волумен изгледа овако:

В = а * ц * н.

Из њега је лако одредити висину тако што ћете поделити обим по површини. Испоставља се да висина треба бити једнака 1 м.

Одговор је. Висина кутије је један метар.