Одређивање момента, силе и инерције. Једнаџба тренутка Пример решавања проблема

Динамика ротације је један од битних дијелова модерне механике, који разматра законе ротационог кретања тијела око оси и тачака. У овом чланку ћемо детаљно проучити главну једначину динамике ротације - једначину момената.

Тренутак импулса

Сваки ђак зна шта чини механички импулс, који се исправније назива количина покрета. Сада претпоставимо да се материјална тачка која има масу м ротира око О осе са линеарном брзином в. Ако је радијус ротације означен као р, онда можемо написати следећи израз:

Л¯ = [м * в¯ * р¯].

Прва два фактора на десној страни једнакости су линеарни импулс једне тачке. Продукт овог импулса вектором р¯, усмерен од осе ротације до тачке, назива се угаони момент Л¯.

Вредност Лп је вектор. Усмерен је окомито на раван ротације тачке. Правац угаоног момента материјалне тачке одређује се помоћу правила за десну руку или правила гимлета. Окретање тачке супротно од смера кретања казаљке на сату ствара позитиван угаони момент.

Пошто је брзина ротације в¯ усмјерена тангенцијално на кружну путању, векторска експресија се може преписати у скаларном облику:

Л = м * в * р.

Тренутак силе

Ово је још једна важна карактеристика ротационог покрета. У физици, та се количина уноси на исти начин као и кутни момент материјалне точке, али умјесто количине кретања, треба замијенити тангенцијалну силу у горе наведену формулу. Имамо:

М¯ = [р¯ * Ф¯].

Тренутак силе, који се назива и момент момента, карактерише способност потоњег да направи заокрет система и да му даје кутно убрзање.

Правац вектора обртног момента М¯ одређен је истим правилима као и за вектор Л¯. Ако систем изводи убрзану ротацију, онда се М¯ и Л¯ поклапају у правцу, ако се успоре, онда ће бити супротно усмерени.

Ако су сила Ф ¯ и радијус-вектор р бити међусобно окомити, онда ће се векторски облик записа претворити у сличан скалар:

М = р * Ф.

Вредност р се назива полугом силе. Што је већа његова вриједност, то је већи тренутак када сила Ф ствара, а већа ће бити и кутна убрзања система.

Примери који би омогућили јаснију представу о томе шта је физичко значење Мпи, одвијају матицу специјалним дугачким кључем, процесом отварања врата са његовим гурањем близу ручке и близу шарки врата, као и процесом држања тела одређене масе на растегнутом и притиснутом на тело арм.

Тренутак инерције

Остаје да се дефинише трећа тачка, која се користи за квантитативно описивање процеса ротације. Тренутак инерције материјалне тачке, чији су параметри забележени на почетку чланка, израчунава се по формули:

И = м * р ² .

За разлику од друга два момента (М¯ и Л¯), момент инерције је скалар. Помоћу њега описују се инерцијална својства система (аналогија са масом током транслационог кретања).

Очигледно, да би се одредила вредност И за чврсто тело сложеног облика и неједнолика густина, треба користити интегрални број:

И = ( _м (р ² * дм).

Заправо, формула одражава збрајање количина И _и за сваку материјалну тачку и.

Тренутак инерције И карактеристичан је не само за облик и расподелу масе у систему ротације, већ зависи и од локације осовине. На пример, многи су приметили да је много лакше ротирати металну шипку или дрвену крпу дуж оси која пролази кроз њихову дужину него дуж окомице. У другом случају, момент инерције има већи значај.

Једнаџба момента за материјалну тачку

Сада је време да се директно позабавимо темом чланка. Ако обртни моменат М делује за време дт, онда то доводи до промене момента момента за количину дЛ, односно:

дЛ = М * дт.

Ова једнакост је диференцијални облик писања једначине тренутка у физици. Пренесите термин дт на леву страну једнакости и поново напишите дЛ експлицитно, добијамо:

дЛ / дт = М =>

м * дв * р / дт = М.

Подсјетимо се да је линеарна брзина у кинематици повезана са слиједећом једнаџбом:

в = ω * р.

Замењујући је у једнаџбу тренутака, добијамо:

м * дω * р ² / дт = М =>

И * α = М, где је α = дω / дт, И = м * р ² .

Добијена једнакост се често користи за одређивање кинематичких карактеристика ротационог система ако су познати моменти спољашњих сила М и момент инерције И.

Закон очувања вриједности Л

Једнаџба тренутка показује како се моменат угаоног момента мења ако делује спољашњи тренутак М. Шта ће се десити са системом ако М испадне нула? У овом случају, вредност Л ће бити сачувана. Математичка формула за ову ситуацију је написана на следећи начин:

Л = цонст или

Л = м * р * в = м * р ² * ω = И * ω = цонст.

Приметимо да услов М = 0 треба да се задовољи само за спољашње силе. Унутрашње силе које стварају тренутак М не могу да промене тренутак момента система.

Закон о заштити Л користи се за ротирање вештачких сателита у свемиру и на уметничком клизању. Дакле, груписањем на различите начине, спортиста мења вредност свог момента инерције, што доводи до пропорционалне промене брзине његове угаоне ротације.

Пример задатка

На материјалну тачку од 2 кг делује сила од 10 Н, знајући да је полупречник ротације материјалне тачке око осе 0,5 м, а имајући у виду да сила делује тангенцијално на путању, потребно је пронаћи угаону брзину тачке 5 секунди након почетка кретања .

Пишемо једнаџбу момента и изразимо убрзање α:

И * α = М =>

α = М / И.

Сада замењујемо изразе за М и И, узимајући у обзир услове проблема, имамо:

α = Ф * р / (м * р ² ) = Ф / (м * р).

Пошто се кретање које се разматра дешава са константним убрзањем α, следећа формула ће бити погодна за рачунање ω:

ω = α * т.

Замењујући резултујући израз за α, долазимо до коначне радне формуле:

ω = Ф * т / (м * р).

С обзиром на податке проблема, можете написати одговор: ω = 50 рад / с. Ова вредност одговара скоро 8 пуних обртаја око осе у секунди.