Динамика и кинематика кружног кретања: формуле и решење типичног проблема

Способност описивања кретања у кругу је важна за израчун техничких карактеристика ротирајућих осовина и зупчаника. Овај тип кретања се налази иу свакодневном животу и природи, као што је ротација планета око сунца и клизача током наступа на спортским такмичењима. У овом чланку ћемо размотрити како се са становишта физике може описати ова врста кретања.

Динамика ротације

Кретање у кругу је ротација одређеног тела или материјалне тачке око осе. Да би тело почело да се ротира, потребно је имати спољашњи момент који делује на дотични систем. Овај тренутак је одређен формулом:

М = Ф * д

Овде је Ф сила, д је дужина полуге (растојање између осе и тачке примене силе). Тренутак силе је векторска вредност. Формула се користи за израчунавање модула М.

Ефекат момента М рефлектује се на систем у облику појављивања угловног убрзања. То јест, систем почиње да се ротира. Главна формула за кружно кретање је написана као:

М = И * α

Овде је И тренутак инерције, α је угажно убрзање. Обе величине имају своје аналоге за линеарни случај. Ако је све јасно са аналогом α вредности, онда је за тренутак инерције потребно разјаснити. Вредност И одражава инерцијална својства ротационог система. То јест, током ротације, он игра исту улогу као и обична телесна тежина.

Треба напоменути да је горњи израз аналоган Њутновом другом закону за ротацију.

Центрипеталне и центрифугалне силе, убрзање

Процес ротације подразумева присуство неке унутрашње силе која би обезбедила криво кретање тела. Ова сила се зове центрипетал. Према имену, он је увек усмерен од тела до осе ротације. Пошто је дужина полуге д за њу једнака нули, то не доводи до појаве кутног убрзања α. Ипак, он мења вектор линеарних брзина, односно ствара убрзање.

Убрзање када се креће у круг без промјене модула линеарне брзине назива се центрипетал. Израчунава се по формули:

а _ц = в ² / р

Где је в линеарна брзина материјалне тачке која се ротира на растојању р од осе.

Поред центрипеталне, често можете чути о центрифугалној сили. Овај други настоји да извуче тијело из кружне стазе до равне линије. Разлог за његово појављивање су инерцијална својства ротационог система.

Када се крећу у круг, центрипеталне и центрифугалне силе су једнаке у величини једна другој, ау правцу супротном.

Кинематичке једначине ротације

Кретање у кругу, као у правој линији, може бити једнолично или се појавити са убрзањем. У првом случају, формула је:

θ = ω * т

То значи да је централни угао θ, на коме се тело окреће за време т, директно пропорционалан угаоној брзини ω. Угао θ изражава се у радијанима, а брзина ω изражава се у радијанима у секунди.

Ако на систем дјелује константни вањски момент сила, тада се кретање у кругу догађа с неким константним убрзањем α. У овом случају, следећи кинематички израз ће бити истинит:

θ = α * т 2/2

Ако се систем прво ротира са одређеном брзином ω _0, а затим почне да повећава своју фреквенцију ротације са убрзањем α, тада, почевши од момента т, када се појави убрзање, формула ће бити важећа:

θ = ω ₀ * т + α * т 2/2

Напомињемо да је овај израз линеарна комбинација претходна два.

Однос линеарних и угаоних кинематичких карактеристика

Изнад је дата формула за центрипетално убрзање, написана кроз линеарну брзину в. Међутим, ова формула се такође може написати у смислу одговарајуће угловне карактеристике ω.

Претпоставимо да је ротирајуће тело направило један окретај око круга у времену т. Онда за линеарне и угаоне брзине можемо да запишемо:

в = 2 * пи * р / т;

ω = 2 * пи / т

Одатле се види да је модул линеарне брзине в р пута већи од магнитуде ω, то јест:

в = ω * р

Ова једнакост повезује угаоне и линеарне брзине. Помоћу њега, можете написати формулу за _ц кроз ω:

а _ц = ω ² * р

Сада рачунамо у формули са брзинама временске изведбе за леву и десну страну једнакости, добијамо:

дв / дт = дω / дт * р =>

а = α * р

Ова једнакост повезује линеарно убрзање а усмерено тангенцијално на круг и његов угаони аналог α.

Лако је доказати да је централни угао ротације θ када се креће око круга везан за дужину његовог лука Л, следећи израз:

Л = θ * р

Овде, ако је θ једнако 2 * пи радијана (пуна револуција), добијамо дужину круга Л.

Решење проблема одређивања центрипеталне силе

Познато је да је камен тежине 0,5 кг везан за конопац дужине 1 метар и почели су да га ротирају угаоном фреквенцијом од 3 окретаја у секунди. Потребно је пронаћи силу затезања конопа Ф _ц .

Сила напетости Ф _ц је центрипетална. Може се израчунати по формули:

Ф _ц = м * а _ц

Маса камена м је позната. Центрипетално убрзање а _ц може се израчунати из знања о кутној брзини ω. Са фреквенцијом ф постављеном у задатку, количина ω је повезана изразом:

ω = 2 * пи * ф

Тада ће се центрипетално убрзање израчунати као:

а _ц = 4 * пи ² * ф ² * р

Жељена сила Ф _ц ће бити једнака:

Ф _ц = 4 * пи ² * ф ² * р * м

Ако је услов проблема замена података у овој формули, добијамо вредност силе Ф _ц , приближно једнаку 177.5 Н.